The методически материале за справка и обхваща широк кръг от теми. Статията предоставя преглед на графиките на основните елементарни функции и разглежда най-важния въпрос - как правилно и БЪРЗО да изградите графика. В хода на изучаване на висша математика, без да знаете графиките на основните елементарни функции, ще бъде трудно, така че е много важно да запомните как изглеждат графиките на парабола, хипербола, синус, косинус и т.н., за да запомните някои стойности на функцията. Ще говорим и за някои свойства на основните функции.

Не претендирам за пълнота и научна задълбоченост на материалите, акцентът ще бъде поставен преди всичко върху практиката - онези неща, с които човек трябва да се сблъсква буквално на всяка стъпка, във всяка тема на висшата математика. Графики за манекени? Може да се каже така.

По масово търсене на читатели съдържание, върху което може да се кликне:

Освен това има ултра-кратко резюме по темата
– овладейте 16 вида диаграми, като изучавате ШЕСТ страници!

Сериозно, шест, дори аз самият бях изненадан. Това резюме съдържа подобрена графика и се предлага срещу номинална такса, може да се види демо версия. Удобно е да отпечатате файла, така че графиките да са винаги под ръка. Благодаря за подкрепата на проекта!

И започваме веднага:

Как да изградим правилно координатни оси?

На практика тестовете почти винаги се изготвят от учениците в отделни тетрадки, подредени в клетка. Защо се нуждаете от карирана маркировка? В крайна сметка работата по принцип може да се извърши на листове А4. И клетката е необходима само за висококачествен и точен дизайн на чертежите.

Всеки чертеж на функционална графика започва с координатни оси.

Чертежите са двуизмерни и триизмерни.

Нека първо разгледаме двумерния случай Декартова координатна система:

1) Начертаваме координатни оси. Оста се нарича ос х , и оста у-ос . Винаги се опитваме да ги нарисуваме чист и не крив. Стрелките също не трябва да приличат на брадата на татко Карло.

2) Подписваме осите с главни букви "x" и "y". Не забравяйте да подпишете осите.

3) Задайте скалата по осите: нарисувайте нула и две единици. Когато правите чертеж, най-удобният и често срещан мащаб е: 1 единица = 2 клетки (чертеж вляво) - придържайте се към него, ако е възможно. От време на време обаче се случва чертежът да не се побира на лист от тетрадка - тогава намаляваме мащаба: 1 единица = 1 клетка (чертеж вдясно). Рядко, но се случва мащабът на чертежа да се намали (или увеличи) още повече

НЕ драскайте от картечница ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....Защото координатната равнина не е паметник на Декарт, а ученикът не е гълъб. Ние поставяме нулаи две единици по осите. Понякога вместоединици, удобно е да „откривате“ други стойности, например „две“ по абсцисната ос и „три“ по ординатната ос - и тази система (0, 2 и 3) също ще зададе уникално координатната мрежа.

По-добре е да прецените приблизителните размери на чертежа ПРЕДИ чертежа да бъде начертан.. Така например, ако задачата изисква начертаване на триъгълник с върхове , , , тогава е съвсем ясно, че популярният мащаб 1 единица = 2 клетки няма да работи. Защо? Нека да погледнем по същество - тук трябва да измерите петнадесет сантиметра надолу и, очевидно, рисунката няма да се побере (или едва се побере) на лист от тетрадка. Затова веднага избираме по-малък мащаб 1 единица = 1 клетка.

Между другото, за сантиметри и клетки от тетрадка. Вярно ли е, че в 30 клетки от тетрадка има 15 сантиметра? Измерете в тетрадка за лихви 15 сантиметра с линийка. В СССР може би това беше вярно ... Интересно е да се отбележи, че ако измервате същите тези сантиметри хоризонтално и вертикално, тогава резултатите (в клетки) ще бъдат различни! Строго погледнато, съвременните тетрадки не са карирани, а правоъгълни. Може да изглежда като глупост, но рисуването, например, на кръг с компас в такива ситуации е много неудобно. Честно казано, в такива моменти започвате да мислите за правилността на другаря Сталин, който беше изпратен в лагери за халтура в производството, да не говорим за местната автомобилна индустрия, падащи самолети или експлодиращи електроцентрали.

Говорейки за качество, или кратка препоръка за канцеларски материали. Към днешна дата повечето от тетрадките в продажба, без да казват лоши думи, са пълен гоблин. Поради причината, че се мокрят и то не само от гел химикалки, но и от химикалки! Спестете на хартия. За освобождаване контролни работиПрепоръчвам да използвате тетрадките на Архангелската целулозно-хартиена фабрика (18 листа, клетка) или Pyaterochka, въпреки че е по-скъпо. Препоръчително е да изберете гел химикал, дори най-евтиният китайски гел пълнител е много по-добър от химикалка, която или размазва, или къса хартия. Единственият "конкурентен" Химикалкав паметта ми е "Ерих Краузе". Тя пише ясно, красиво и стабилно - или с пълно стебло, или с почти празно.

Допълнително: визията на правоъгълна координатна система през очите на аналитичната геометрия е разгледана в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Векторна основа, подробна информацияотносно координатните четвъртини можете да намерите във втория параграф на урока Линейни неравенства.

3D калъф

Тук е почти същото.

1) Начертаваме координатни оси. Стандартен: приложна ос – насочена нагоре, ос – насочена надясно, ос – надолу наляво строгопод ъгъл от 45 градуса.

2) Подписваме осите.

3) Задайте скалата по осите. Мащаб по оста - два пъти по-малък от мащаба по другите оси. Също така имайте предвид, че в десния чертеж използвах нестандартен "сериф" по оста (тази възможност вече беше спомената по-горе). От моя гледна точка това е по-точно, по-бързо и по-естетически приятно - не е нужно да търсите средата на клетката под микроскоп и да „извайвате“ единицата точно до началото.

Когато правите отново 3D чертеж - дайте приоритет на мащаба
1 единица = 2 клетки (чертеж вляво).

За какво са всички тези правила? Правилата са там, за да бъдат нарушавани. Какво ще правя сега. Факт е, че следващите чертежи на статията ще бъдат направени от мен в Excel и координатните оси ще изглеждат неправилни от гледна точка правилен дизайн. Бих могъл да начертая всички графики на ръка, но е наистина страшно да ги начертая, тъй като Excel не желае да ги начертае много по-точно.

Графики и основни свойства на елементарни функции

Линейната функция е дадена от уравнението . Графиката на линейната функция е директен. За да се построи права линия, е достатъчно да се познават две точки.

Пример 1

Начертайте функцията. Нека намерим две точки. Изгодно е да изберете нула като една от точките.

Ако , тогава

Взимаме друга точка, например 1.

Ако , тогава

При изготвянето на задачи координатите на точките обикновено се обобщават в таблица:

А самите стойности се изчисляват устно или на чернова, калкулатор.

Намерени са две точки, нека начертаем:

Когато изготвяме чертеж, ние винаги подписваме графиките.

Няма да е излишно да си припомним специални случаи на линейна функция:

Забележете как поставих надписите, подписите не трябва да са двусмислени при изучаване на чертежа. AT този случайбеше изключително нежелателно да се постави подпис до точката на пресичане на линиите или долу вдясно между графиките.

1) Линейна функция от формата () се нарича пряка пропорционалност. Например, . Графиката на пряката пропорционалност винаги минава през началото. По този начин изграждането на права линия е опростено - достатъчно е да се намери само една точка.

2) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията се изгражда веднага, без да се откриват точки. Тоест записът трябва да се разбира по следния начин: "y винаги е равно на -4 за всяка стойност на x."

3) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Веднага се изгражда и графиката на функцията. Записът трябва да се разбира по следния начин: "x винаги, за всяка стойност на y, е равно на 1."

Някои ще попитат, защо да си спомняме за 6-ти клас?! Така е, може би е така, само през годините на практика срещнах добра дузина студенти, които бяха объркани от задачата да построят графика като или .

Рисуването на права линия е най-често срещаното действие при рисуване.

Правата е разгледана подробно в курса по аналитична геометрия, а желаещите могат да се обърнат към статията Уравнение на права на равнина.

Графика на квадратна функция, графика на кубична функция, графика на полином

Парабола. Графика на квадратична функция () е парабола. Помислете за известния случай:

Нека си припомним някои свойства на функцията.

И така, решението на нашето уравнение: - в тази точка се намира върхът на параболата. Защо това е така може да научите от теоретичната статия за производната и урока за екстремумите на функцията. Междувременно изчисляваме съответната стойност на "y":

Така че върхът е в точката

Сега намираме други точки, докато нагло използваме симетрията на параболата. Трябва да се отбележи, че функцията – не е дори, но въпреки това никой не е отменил симетрията на параболата.

В какъв ред да намерите останалите точки, мисля, че ще стане ясно от финалната маса:

Този алгоритъм на изграждане образно може да се нарече "совалка" или принципът "напред и назад" с Анфиса Чехова.

Да направим чертеж:

От разгледаните графики идва на ум още една полезна функция:

За квадратична функция () вярно е следното:

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени нагоре.

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени надолу.

Задълбочени знания за кривата могат да се получат в урока Хипербола и парабола.

Кубичната парабола е дадена от функцията . Ето рисунка, позната от училище:

Изброяваме основните свойства на функцията

Функционална графика

Представлява един от клоновете на параболата. Да направим чертеж:

Основните свойства на функцията:

В този случай оста е вертикална асимптота за графиката на хипербола при .

Ще бъде ГОЛЯМА грешка, ако при съставянето на чертеж по небрежност позволите на графиката да се пресече с асимптото.

Също едностранни ограничения, кажете ни, че това е хипербола не се ограничава отгореи не се ограничава отдолу.

Нека изследваме функцията в безкрайност: , тоест, ако започнем да се движим по оста наляво (или надясно) до безкрайност, тогава „игрите“ ще бъдат тънка стъпка безкрайно близоприближават нулата и съответно клоновете на хиперболата безкрайно близоприближете се до оста.

Така че оста е хоризонтална асимптота за графиката на функцията, ако "x" клони към плюс или минус безкрайност.

Функцията е странно, което означава, че хиперболата е симетрична спрямо началото. Този факт е очевиден от чертежа, освен това може лесно да се провери аналитично: .

Графиката на функция от формата () представлява два клона на хипербола.

Ако , тогава хиперболата се намира в първия и третия координатен квадрант(вижте снимката по-горе).

Ако , тогава хиперболата се намира във втория и четвъртия координатен квадрант.

Не е трудно да се анализира посочената закономерност на мястото на пребиваване на хиперболата от гледна точка на геометричните трансформации на графиките.

Пример 3

Конструирайте десния клон на хиперболата

Използваме метода на точково изграждане, докато е изгодно да изберете стойностите така, че да се разделят напълно:

Да направим чертеж:

Няма да е трудно да се конструира левият клон на хиперболата, тук просто ще помогне странността на функцията. Грубо казано, в таблицата за построяване на точки, мислено добавете минус към всяко число, поставете съответните точки и начертайте втория клон.

Подробна геометрична информация за разглежданата линия можете да намерите в статията Хипербола и парабола.

Графика на експоненциална функция

В този параграф веднага ще разгледам експоненциалната функция, тъй като в проблемите на висшата математика в 95% от случаите се среща експоненциалната функция.

Напомням ви, че - това е ирационално число: това ще се изисква при изграждането на графика, която всъщност ще изградя без церемонии. Три точки вероятно са достатъчни:

Нека засега оставим графиката на функцията, за това по-късно.

Основните свойства на функцията:

По принцип графиките на функциите изглеждат еднакви и т.н.

Трябва да кажа, че вторият случай е по-рядко срещан в практиката, но се среща, затова сметнах за необходимо да го включа в тази статия.

Графика на логаритмична функция

Да разгледаме функция с натурален логаритъм.
Нека направим линейна рисунка:

Ако сте забравили какво е логаритъм, вижте училищните учебници.

Основните свойства на функцията:

Домейн:

Диапазон от стойности: .

Функцията не е ограничена отгоре: , макар и бавно, но клонът на логаритъма се издига до безкрайност.
Нека разгледаме поведението на функцията близо до нула вдясно: . Така че оста е вертикална асимптота за графиката на функцията с "x", клонящо към нула вдясно.

Не забравяйте да знаете и запомните типичната стойност на логаритъма: .

По принцип графиката на логаритъма при основата изглежда по същия начин: , , (десетичен логаритъм при основа 10) и т.н. В същото време, колкото по-голяма е основата, толкова по-плоска ще бъде диаграмата.

Няма да разглеждаме случая, нещо, което не помня кога за последен път построих графика с такава основа. Да, и логаритъмът изглежда е много рядък гост в проблемите на висшата математика.

В заключение на параграфа ще кажа още един факт: Експоненциална функция и логаритмична функцияса две взаимни обратни функции . Ако погледнете внимателно графиката на логаритъма, можете да видите, че това е същият показател, само че е разположен малко по-различно.

Графики на тригонометрични функции

Как започва тригонометричното мъчение в училище? Правилно. От синуса

Нека начертаем функцията

Тази линия се нарича синусоида.

Напомням ви, че "пи" е ирационално число: и в тригонометрията то заслепява очите.

Основните свойства на функцията:

Тази функция е периодично изданиес период. Какво означава? Нека да разгледаме разреза. Вляво и вдясно от нея безкрайно се повтаря точно една и съща част от графиката.

Домейн: , тоест за всяка стойност на "x" има синусова стойност.

Диапазон от стойности: . Функцията е ограничен: , тоест всички „игри“ се намират строго в сегмента .
Това не се случва: или, по-точно, случва се, но тези уравнения нямат решение.

Функцията се записва в общ вид като y = или f(x) =

y и x са обратно пропорционални количества, т.е. когато едното нараства, другото намалява (проверете, като поставите числата във функцията)

За разлика от предишната функция, в която x 2 винаги дава положителни стойности, тук не можем да кажем, че - = , тъй като това биха били напълно противоположни числа. Такива функции се наричат странно.

Например, нека изградим графика y =

Естествено, x не може да бъде равно на нула (x ≠ 0)

клоновехиперболите лежат в 1-ва и 3-та част на координатите.

Те могат безкрайно да се приближават до абсцисната и ординатната ос и никога да не ги достигнат, дори ако "x" стане равно на милиард. Хиперболата ще бъде безкрайно близо, но все пак няма да се пресича с осите (такава е математическата тъга).

Нека изградим графика за y = -

​​​​​​​​​​​​​​​И сега клоновете на хиперболата са във втората и 4-та четвърт на координатната равнина.

В резултат на това може да се наблюдава пълна симетрия между всички клонове.

Ако към АРГУМЕНТА на функцията се добави константа, тогава се получава изместване (паралелен превод) на графиката по оста. Помислете за функция и положително число:

правила:
1) за да изградите функционална графика, трябва да преместите графиката ЗАРЕДЕЛОоси на единици наляво;
2) за да изградите функционална графика, трябва да изместите графиката ЗАРЕДЕЛОоси на единици точно.

Пример 6

Начертайте функция

Вземаме парабола и я изместваме по оста x с 1 единица точно:

„Идентификационният маяк“ е стойността, това е мястото, където се намира горната част на параболата.

Сега мисля, че никой няма да има затруднения с чертането (демонстрационен пример от началото на урока) - кубичната парабола трябва да бъде изместена с 2 единици наляво.

Ето още един типичен случай:

Пример 7

Начертайте функция

Нека изместим хиперболата (черен цвят) по оста с 2 единици наляво:

Преместването на хиперболата "издава" стойност, която не е включена в функционален обхват. AT този пример, и уравнение на права линиякомплекти вертикална асимптота(червена пунктирана линия) графика на функцията (червена плътна линия). По този начин, с паралелен превод, асимптотата на графиката също се измества (което е очевидно).

Да се ​​върнем към тригонометричните функции:

Пример 8

Начертайте функция

Синусовата графика (черен цвят) ще бъде изместена по оста по оста с наляво:

Нека разгледаме по-отблизо получената червена графика.... Това е точно графиката по косинус! Всъщност получихме геометрична илюстрация формули за намаляване, и пред вас може би най-известната формула, свързваща тези тригонометрични функции. Графиката на функцията се получава чрез изместване на синусоидата по оста с единици наляво (както вече беше споменато в урока Графики и свойства на елементарни функции). По същия начин може да се провери валидността на всеки друг формули за намаляване.

Разгледайте правилото за съставяне, когато аргументът е линейна функция: , докато параметърът "ka" не е равнонула или едно, параметърът "be" - не е равнонула. Как да начертая такава функция? От училищния курс знаем, че умножението има приоритет пред добавянето, следователно изглежда, че първо компресираме / разтягаме / показваме графиката в зависимост от стойността и след това я преместваме с единици. Но тук има подводен камък и правилният алгоритъм е следният:

Аргументът на функцията трябва да бъде представен във формата и последователно да извърши следните трансформации:

1) Графиката на функцията се компресира (или разтяга) към оста (от оста) на ординатите: (ако , тогава графиката трябва допълнително да се показва симетрично по отношение на оста).

2) Графиката на получената функция се измества наляво (или надясно) по оста x на (!!!) единици, в резултат на което ще бъде построена желаната графика.

Пример 9

Начертайте функция

Нека представим функцията във формата и изпълним следните трансформации: синусоида (черен цвят):

1) стиснете към остадва пъти: (син цвят);
2) се движат по оста на (!!!) наляво: (Червен цвят):

Примерът изглежда прост, но летенето с паралелен трансфер е по-лесно от бриз. Графиката се измества с , а не с .

Продължаваме да се занимаваме с функциите на началото на урока:

Пример 10

Начертайте функция

Нека представим функцията като . В този случай: Строителството ще се извърши на три стъпки. Графика на натурален логаритъм:

1) стиснете към оста 2 пъти: ;
2) показват симетричноспрямо оста : ;
3) се движат по оста на (!!!) надясно: :

За самоконтрол можете например да замените двойка X стойности в крайната функция и да проверите получената графика.

В разглежданите параграфи събитията се развиват "хоризонтално" - акордеонът свири, краката танцуват наляво / надясно. Но подобни трансформации се случват във "вертикална" посока - по оста. Основната разлика е, че те са свързани не с АРГУМЕНТА, а със САМАТА ФУНКЦИЯ.

Разтягане (компресиране) на графиката ПО У-оста.
Симетрично показване на графиката спрямо абсцисната ос

Структурата на втората част на статията ще бъде много подобна.

1) Ако ФУНКЦИЯТА се умножи по число, тогава разтягане на графиката му по оста y.

правило разтегнете по остана време.

2) Ако ФУНКЦИЯТА се умножи по число, тогава компресиране на неговата графика по оста y.

правило: за да начертаете функцията, където , имате нужда от графиката на функцията свиват се по остана време.

Познайте коя функция ще опитам отново =)

Пример 11

Изграждане на функционални графики.

Взимаме синусоида от короната / петите:

И изваждамнея по оста 2 пъти:

Периодът на функцията не се е променил и е , но стойностите (всички освен нула) са се увеличили по модулдва пъти, което е логично - в края на краищата функцията се умножава по 2 и обхватът на нейните стойности се удвоява: .

Сега компресирамсинусоида по оста 2 пъти:

По същия начин, периодът не се е променил, но обхватът на функцията е "изравнен" два пъти: .

Не, нямам пристрастия към синусоидата, просто исках да демонстрирам как функционалните графики (Примери № 1,3) се различават от новопостроените аналози. Опитайте отново да анализирате и разберете по-добре тези елементарни случаи. Дори минималните познания за преобразуване на графики ще ви осигурят безценна помощ при решаването на други проблеми на висшата математика! . случаи

Коефициентът на функцията k може да приеме всякаква стойност освен k = 0. Нека първо разгледаме случая, когато k = 1; Затова първо ще говорим за функцията.

За да изградим графика на функцията, ще направим същото като в предишния параграф: ще дадем на независимата променлива x няколко специфични стойности и ще изчислим (използвайки формулата) съответните стойности на зависимата променливаг. Вярно е, че този път е по-удобно да се извършват изчисления и конструкции постепенно, като първо се дават на аргумента само положителни стойности, а след това само отрицателни.

Първи етап.Ако x \u003d 1, тогава y \u003d 1 (припомнете си, че използваме формулата);

Втора фаза.

Накратко съставихме следната таблица:

А сега нека комбинираме двата етапа в един, т.е. от две фигури 24 и 26 ще направим една (фиг. 27). Това е, което е функционална графиканарича се хипербола.
Нека се опитаме да опишем геометричните свойства на хиперболата според чертежа.

Първо, забелязваме, че тази линия изглежда красива като парабола, защото има симетрия. Всяка права, минаваща през началото O и разположена в първия и третия координатен ъгъл, пресича хиперболата в две точки, които лежат на тази линия от противоположните страни на точката O, но на равни разстояния от нея (фиг. 28). Това е присъщо по-специално на точките (1; 1) и (- 1; - 1),

И така нататък И така - За центъра на симетрия на хиперболата. Също така се казва, че хиперболата е симетрична по отношение на произхода координати.

Второ, виждаме, че хиперболата се състои от две части, симетрични относно произхода; те обикновено се наричат ​​клонове на хиперболата.

Трето, забелязваме, че всеки клон на хиперболата в една посока се приближава все повече и повече до абсцисната ос, а в другата посока - до ординатната ос. В такива случаи съответните линии се наричат ​​асимптоти.

Следователно графиката на функцията , т.е. хипербола има две асимптоти: оста x и оста y.

Ако внимателно анализирате изградената графика, можете да намерите друго геометрично свойство, което не е толкова очевидно, колкото предишните три (математиците обикновено казват това: „по-фино свойство“). Хиперболата има не само център на симетрия, но и оси на симетрия.

Наистина, нека построим права линия y = x (фиг. 29). Сега вижте: точки разположени от противоположните страни на прав, но на равни разстояния от него. Те са симетрични спрямо тази права. Същото може да се каже и за точките, където, разбира се, това означава, че линията y \u003d x е оста на симетрия на хиперболата (както и y \u003d -x)

Пример 1. Намерете най-малките и най-големите стойности на функцията а) на сегмента ; б) на отсечката [- 8, - 1].
Решение, а) Нека изградим графика на функцията и да изберем тази част от нея, която съответства на стойностите на променливата x от сегмента (фиг. 30). За избраната част от графиката намираме:

б) Изградете графика на функцията и изберете тази част от нея, която съответства на стойностите на променливата x от сегмент[- 8, - 1] (фиг. 31). За избраната част от графиката намираме:

И така, разгледахме функцията за случая, когато k= 1. Сега нека k е положително число, различно от 1, например k = 2.

Нека разгледаме функция и да направим таблица със стойности на тази функция:

Конструирайте точки (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1),

върху координатната равнина (фиг. 32). Те очертават някаква линия, състояща се от два клона; ще го изпълним (фиг. 33). Подобно на графиката на функция, тази линия се нарича хипербола.

Разгледайте сега случая, когато k< 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции (здесь k = - 1).

В предишния параграф отбелязахме, че графиката на функцията y \u003d -f (x) е симетрична на графиката на функцията y \u003d f (x) спрямо оста x. По-специално, това означава, че графиката на функцията y \u003d - f (x) е симетрична на графиката на функцията y \u003d f (x) около оста x. По-специално това означава, че график, е симетрична на графиката по отношение на абсцисната ос (фиг. 34). Така получаваме хипербола, чиито клонове са разположени във втория и четвъртия координатен ъгъл.

Като цяло графиката на функцията е хипербола, чиито клонове са разположени в първия и третия координатен ъгъл, ако k > 0 (фиг. 33), и във втория и четвъртия координатен ъгъл, ако k< О (рис. 34). Точка (0; 0) - центр симметрии гиперболы, оси координат - асимптоты гиперболы.

Обичайно е да се каже, че две величини x и y са обратно пропорционални, ако са свързани чрез връзката xy = k (където k е число, различно от 0), или еквивалентно, . Поради тази причина функцията понякога се нарича обратна пропорционалност (по аналогия с функцията y - kx, която, както вероятно
запомнете, наречена пряка пропорционалност); числото k е коефициентът на обратното пропорционалност.

Свойства на функцията за k > 0

Описвайки свойствата на тази функция, ще разчитаме на нейния модел на геометрична хипербола (виж фиг. 33).

2. y > 0 за x > 0; y<0 при х<0.

3. Функцията намалява на интервалите (-°°, 0) и (0, +°°).

5. Нито най-малките, нито най-големите стойности на функцията

Функционални свойства за k< 0
Описвайки свойствата на тази функция, ще разчитаме на нейната геометричност модел- хипербола (виж фиг. 34).

1. Домейнът на функцията се състои от всички числа с изключение на x = 0.

2. y > 0 при x< 0; у < 0 при х > 0.

3. Функцията нараства на интервалите (-oo, 0) и (0, +oo).

4. Функцията не е ограничена отдолу или отгоре.

5. Функцията няма нито най-малки, нито най-големи стойности.

6. Функцията е непрекъсната на интервалите (-oo, 0) и (0, +oo) и претърпява прекъсване при x = 0.

Съдържание на урока резюме на урокаопорна рамка презентация на уроци ускорителни методи интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашни дискусионни въпроси риторични въпроси от студенти Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки графики, таблици, схеми хумор, анекдоти, вицове, комикси притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любознателни измамни листове учебници основни и допълнителни речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебника елементи на иновация в урока замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроци календарен планза година насокидискусионни програми Интегрирани уроци

Здравейте, скъпи студенти от Argemony University! Приветствам ви на поредната лекция за магията на функциите и интегралите.

Днес ще говорим за хипербола. Да започнем просто. Най-простата форма на хипербола е:

Тази функция, за разлика от правата линия в нейните стандартни форми, има особеност. Както знаем, знаменателят на една дроб не може да бъде равен на нула, защото не можете да делите на нула.
x ≠ 0
От това заключаваме, че областта на дефиниция е цялата реална права, с изключение на точката 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Ако x клони към 0 отдясно (записано така: x->0+), т.е. става много, много малък, но все пак положителен, тогава y става много, много голям положителен (y->+∞).
Ако x клони към 0 отляво (x->0-), т.е. стане много, много малък по абсолютна стойност, но остава отрицателен, тогава y също ще бъде отрицателен, но по абсолютна стойност ще бъде много голям (y->-∞).
Ако x клони към плюс безкрайност (x->+∞), т.е. става много голямо положително число, тогава y ще става все по-малко и по-малко положително число, т.е. ще клони към 0, оставайки положителен през цялото време (y->0+).
Ако x клони към минус безкрайност (x->-∞), т.е. стане голям модул, но отрицателно число, тогава y също винаги ще бъде отрицателно число, но малък модул (y->0-).

Y, подобно на x, не може да приеме стойност 0. То клони само към нула. Следователно наборът от стойности е същият като домейна на дефиниция: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Въз основа на тези съображения можем схематично да начертаем графика на функцията

Вижда се, че хиперболата се състои от две части: едната е в първия координатен ъгъл, където стойностите на x и y са положителни, а втората част е в третия координатен ъгъл, където стойностите на x и y са отрицателни.
Ако преминем от -∞ към +∞, тогава виждаме, че нашата функция намалява от 0 до -∞, след това има рязък скок (от -∞ до +∞) и започва вторият клон на функцията, който също намалява, но от +∞ до 0. Тоест тази хипербола е намаляваща.

Ако промените функцията само малко: използвайте магията минус,

(1")

Тогава функцията като по чудо се премества от 1-ва и 3-та четвърт във 2-ра и 4-та четвърт и става нарастваща.

Спомнете си, че функцията е повишаване на, ако за две стойности x 1 и x 2 такива, че x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
И функцията ще бъде намаляващако f(x 1) > f(x 2) за същите стойности на x.

Клоните на хиперболата се приближават до осите, но никога не ги пресичат. Такива линии, които графиката на функцията се приближава, но никога не пресича, се наричат асимптотатази функция.
За нашата функция (1) асимптотите са правите x=0 (ос OY, вертикална асимптота) и y=0 (ос OX, хоризонтална асимптота).

Сега нека усложним малко най-простата хипербола и да видим какво се случва с графиката на функцията.

(2)

Просто добавих константата "а" към знаменателя. Добавянето на някакво число към знаменателя като член към x означава преместване на цялата "хиперболична конструкция" (заедно с вертикалната асимптота) с (-a) позиции надясно, ако a е отрицателно число, и с (-a) позиции към отляво, ако a е положително число.

На лявата графика към x се добавя отрицателна константа (a<0, значит, -a>0), което кара графиката да се премести надясно, а на дясната графика положителна константа (a>0), поради което графиката се премества наляво.

И каква магия може да повлияе на пренасянето на "хиперболичната конструкция" нагоре или надолу? Добавяне на постоянен член към дроб.

(3)

Сега цялата ни функция (двете разклонения и хоризонталната асимптота) ще се издигне с b позиции нагоре, ако b е положително число, и ще се спусне с b позиции надолу, ако b е отрицателно число.

Моля, обърнете внимание, че асимптотите се движат заедно с хиперболата, т.е. хиперболата (и двата й клона) и двете й асимптоти задължително трябва да се разглеждат като неделима конструкция, която се движи като една наляво, надясно, нагоре или надолу. Чувството е много приятно, когато можете да накарате цялата функция да се движи във всяка посока, като просто добавите някакво число. Защо не магия, която можете да овладеете много лесно и да я насочите по свое усмотрение в правилната посока?
Между другото, можете да контролирате движението на всяка функция по този начин. В следващите уроци ще затвърдим това умение.

Преди да ви попитам домашна работа, искам да насоча вниманието ви към тази функция

(4)

Долният клон на хиперболата се движи нагоре от 3-тия координатен ъгъл към втория, до ъгъла, където стойността на y е положителна, т.е. този клон се отразява симетрично спрямо оста OX. И сега получаваме четна функция.

Какво означава "равномерна функция"? Функцията се извиква дори, ако условието е изпълнено: f(-x)=f(x)
Функцията се извиква странно, ако е изпълнено условието: f(-x)=-f(x)
В нашия случай

(5)

Всяка четна функция е симетрична спрямо оста OY, т.е. пергаментът с чертежа на графиката може да бъде сгънат по оста OY и двете части на графиката ще съвпадат точно една с друга.

Както можете да видите, тази функция също има две асимптоти - хоризонтална и вертикална. За разлика от функциите, разгледани по-горе, тази функция е нарастваща в едната си част и намаляваща в другата.

Нека сега се опитаме да ръководим тази графика, като добавим константи.

(6)

Спомнете си, че добавянето на константа като термин към "x" кара цялата графика (заедно с вертикалната асимптота) да се движи хоризонтално по хоризонталната асимптота (наляво или надясно, в зависимост от знака на тази константа).

(7)

И добавянето на константата b като член към дробта води до движение на графиката нагоре или надолу. Всичко е много просто!

Сега опитайте сами да експериментирате с тази магия.

Домашна работа 1.

Всеки приема две функции за своите експерименти: (3) и (7).
a = първата цифра от вашия LD
b=втора цифра от вашия LD
Опитайте се да достигнете до магията на тези функции, като започнете с най-простата хипербола, както направих в урока, и постепенно добавяйки вашите собствени константи. Функция (7) вече може да бъде моделирана въз основа на крайната форма на функция (3). Посочете области на дефиниция, набор от стойности, асимптоти. Как се държат функциите: намаляване, увеличаване. Дори странно. Като цяло се опитайте да проведете същото изследване, както беше в урока. Може да намерите още нещо, което съм забравил да спомена.

Между другото, и двата клона на най-простата хипербола (1) са симетрични по отношение на ъглополовящата 2 и 4 на координатните ъгли. Сега си представете, че хиперболата започва да се върти около тази ос. Получаваме точно такава хубава фигура, която може да се използва.

Задача 2. Къде може да се използва тази фигура? Опитайте се да начертаете фигура на въртене за функцията (4) около нейната ос на симетрия и обсъдете къде може да се използва такава фигура.

Спомняте ли си как получихме права линия с изрязана точка в края на последния урок? И ето го последното задача 3.
Създайте графика за тази функция:

(8)

Коефициентите a, b са същите като в задача 1.
c=3-та цифра от вашия LD или a-b, ако вашият LD е двуцифрен.
Малък съвет: първо, фракцията, получена след заместване на числата, трябва да бъде опростена и след това ще получите обичайната хипербола, която трябва да изградите, но накрая трябва да вземете предвид домейна на оригиналния израз.