Вземане на решения при условиянесигурност
1. Максиминен критерий на Валд.
2. Критерий на Savage (минимален риск).
3. Критерий на Хурвиц (песимизъм-оптимизъм).
1. Максимин критерий на Валд (критерий за краен песимизъм)
("Очаквайте най-лошото")
В групата критерии за избор на оптимална стратегия използваната статистика в неизвестни предишни вероятности природни състояния , включва критерии Уолд, Савидж и Хървиц. Те използват матричен анализ на изплащането или матричен анализ на риска.
Ако разпределението вероятностите за бъдещи природни състояния са неизвестни, тогава цялата информация за природата се свежда до списък с възможни състояния.
Максимен критерий на Валд- това е критерий за краен песимизъм,или критерий на внимателния наблюдател.Може да се формулира както за чисти, така и за смесени стратегии.
Критерият на Wald е критерий за краен песимизъм, тъй като статистикът приема, че природата реализира такива състояния, при които стойността на неговата печалба приема най-малка стойност.
Критерият е идентичен максиминен (песимистичен) критерий,използвани при решаване на матрични игри в чисти стратегии.
От всяка линииса избрани минималенелементи, т.е. които съответстват на най-лошия резултат на вземащия решение при известни състояния на "природата". След това изберете стратегиявземащ решение съответстващ максимум елемент от избрания минимум:
. (1)
Избраните по този начин варианти напълно елиминират риска, тъй като вземащият решение не може да се сблъска с по-лош резултат от този, от който се ръководи.
Приложение на този критерийоправдано, ако ситуацията, в която се взема решението, се характеризира със следните характеристики:
вероятностите за състояния на "природата" са неизвестни;
решението се прилага само веднъж или малък брой пъти;
пълна толерантност към риска.
По този начин, според критерия на Wald, чистата стратегия се счита за оптимална, ако гарантира максимална печалба при най-лошите условия. означава, оптимална е maximin чистата стратегия, а максималната печалба е по-ниската нетна цена за игра на игра с двойки с нулева сума.
Пример 1
Игра на доставчик.
Производството на компанията зависи значително от нетрайни материали, като мляко или горски плодове, доставяни на партиди на стойност 100 единици.
Ако доставката не пристигне навреме, фирмата губи 400 единици. от недостатъчно производство.
Фирмата може да изпрати своя транспорт на доставчика (разходи 50 единици), но опитът показва, че в половината от случаите транспортът се връща без нищо.
Можете да увеличите шанса за получаване на материал до 80%, ако изпратите представител предварително, но цената ще се увеличи с още 50 единици.
Възможно е да закупите по-скъп (50%) заместител на материал от друг, доста надежден доставчик, но в допълнение към транспортните разходи (50 единици), може да има допълнителни разходи за съхранение на материала в размер на 30 единици, ако неговият количеството в склада надвишава допустимата норма, равна на една партида.
Каква стратегия трябва да следва растението в тази ситуация?
Решение
Природата има две състояния: надежден доставчик и ненадежден доставчик. Компанията има четири стратегии: 1) не предприема никакви допълнителни действия, 2) изпраща собствен транспорт до доставчика, 3) изпраща представител и транспорт до доставчика, 4) купува и донася заместител на материал от друг доставчик.
Нека направим таблица за изчисление:
|
Разходи и загуби на производителя |
||||||
|
Ситуация |
Материални разходи |
Недостатъчно производство |
транспорт |
Пътни разходи |
Разходи за съхранение |
Обща сума |
Решение
Въз основа на получените резултати от изчисленията е възможно да се състави матрица на изплащане:
Отговор. Необходимо е да се придържате към третата стратегия и разходите няма да надвишават 260 единици, ако се изпрати представител и транспорт до доставчика.
1 . Разгледаният метод за намиране на оптималното решение е критерийУолда ( максиминен критерийвземане на решение). Избира се решение, което гарантира изплащане не по-малко от maxmin:
единици
Прилагайки този критерий, ние представяме вместо естеството на активен и злонамерен противник. то песимистичен подход .
2. Макс критерий. Най-благоприятният случай:
единици
Ако фирмата не направи нищо, тя ще похарчи не повече от 100 единици. Това е критерият абсолютен оптимизъм.
Критерий на Валд за смесени стратегии
Оптималната смесена стратегия е статистиката 
, при което минималната средна печалба ще бъде максимална:
.
(2)
Критерият на Валд ориентира статистиката към най-неблагоприятните природни състояния, т.е. изразява песимистична оценка на ситуацията.
2. Критерий на Савидж (минимален риск )
На практика, избирайки едно от възможните решения, често се спира на чието изпълнение ще доведе до най-малко тежки последициако изборът е грешен. Този подход за избор на решение е математически формулиран от американския статистик Савидж през 1954 г. и е наречен дивашки принцип. Той е особено удобен при икономически проблеми и често се използва за избор на решения в игрите на човека с природата.
Според принципа на Савидж всяко решение се характеризира с размера на допълнителните загуби, които възникват при изпълнението на това решение, в сравнение с прилагането на решение, което е правилно за дадено състояние на природата.Естествено е, че правилното решениене води до допълнителни загуби и тяхната стойност е нула.
При избора на решение, което най-добре отговаря на различните природни състояния, трябва да се вземат предвид само тези допълнителни загуби, които по същество ще бъдат резултат от грешки при избора.
За да се реши проблемът, т.нар. " матрица на риска”, чиито елементи показват каква загуба ще понесе играчът (DM) в резултат на избора на неоптимално решение.
Спомнете си това Риск играч при избора на стратегия в условията (състоянията) на природатасе нарича разликата между максималната печалба, която на разположениепри тези условия и печалбата, която ще получииграчът при същите условия, прилагайки стратегията.
Критерият на Savage е критерий за минимален риск, минимизиране на "съжаленията".Този критерий, подобно на критерия на Валд, е най-предпазлив и песимистичен.
В критерия на Savage песимизмът се проявява по различен начин: най-лошото не е минималната печалба, а максималната загуба на печалба в сравнение с това, което може да бъде постигнато при дадени условия (максимален риск).
Критерият на Савидж се фокусира върху риска, а не върху резултата(загуби или неустойки).
Като се избира оптималната стратегия, при която стойността на загубите в най-лошите условия е минимална.Критерият на Савидж препоръчва да изберете като оптималенче стратегия, която минимизира максималния риск:
Изискванияприложени към ситуацията, в която се взема решение по критерия на Савидж, съвпадат с изискването за използване на критерия на Валд. Критерият на Савидж, подобно на критерия на Валд, ориентира статистиката към най-неблагоприятните природни състояния.
Пример 2За задачата „Доставчик“ минимаксът на риска се постига веднага с две стратегии A 2 и A 3:
Намерете оптималното решение за играта 
, прилагайки критерия на Савидж.
Решение.
Ние се фокусираме върху най-неблагоприятните състояния на "природата". Нека изчислим статистиката на рисковете.
За първата колона:
За втората колона:
За третата колона:
Нека запишем матрица на риска.
|
Статистика на стратегиите |
|||
Да дефинираме във всеки реднай-голямото число е най-големият риск за статистиката, ако той прилага стратегията и природата променя своите състояния , , . Нека допълним матрицата на риска с последната колона "най-големите рискове".
Матрица на риска и най-големите рискове
|
Статистика на стратегиите |
Най-големите рискове |
|||
Нека намерим най-малкия риск: .
Следователно, според критерия на Савидж, оптималната стратегия е стратегия .
4.3. Критерий на Хурвиц (песимизъм-оптимизъм)
Критерият на Хурвиц е критерият на обобщения максимум или песимизъм-оптимизъм.
Изглежда логично, когато избирате решение, вместо две крайности в оценката на ситуацията, да се придържате към някаква междинна позиция, която отчита възможността както за най-лошото, така и за най-доброто, благоприятно поведение на природата.
Такъв компромисен вариант беше предложен от Хурвиц. Съгласно този подход за всяко решение е необходимо да се определи линейна комбинация от минимална и максимална печалба и да се вземе стратегията, за която тази стойност ще бъде най-голяма.
Този критерий предвижда междинно решение между крайния оптимизъм и крайния песимизъм, което се определя на принципа:
. (4)
Номер () - степен на оптимизъм , отговаря на условието и е избран от субективни съображения, характеристики на околната среда, здрав разум, въз основа на опита на вземащия решение, отношението му към риска и др. Изборът на стойността на степента на оптимизъм се влияе от мярката на отговорност: колкото по-сериозни са последиците от погрешните решения, толкова по-голямо е желанието на вземащия решение да се застрахова, тоест степента на оптимизъм е по-близо до нула .
За всеки линииизчислено среднопретеглена стойност(като се вземе предвид избраната стойност) от най-малкия и най-големия резултат, след което се избира ред с максимална стойност.
Когато имаме критерий за изключителен оптимизъм, т.е. отразява позицията на комарджия, който очаква най-благоприятното състояние на околната среда.
Когато критерият на Хурвиц се превърне в Критерият на Валд за краен песимизъм.
Ако 0 е междинното съотношение на вземащите решения спрямо възможните рискове. Ако искате да сте сигурни в тази ситуация, вземете го близо до един.
Изборът на стойност е субективен, а следователно и изборът на решение е субективен, което е напълно неизбежно в условията на несигурност.
Колкото по-опасна е ситуацията, толкова повече вземащият решение се стреми да се застрахова срещу възможни рискове, толкова по-близо до 0. И колкото по-малко страстен е той, толкова по-близо до 1.
Оптималната за Хурвиц стратегия трябва да гарантира на статистика по-голяма печалба от печалбата, която статистикът приема интуитивно или от опит.
Прилагането на критерия на Хурвиц е оправдано, ако ситуацията, в която се взема решението, се характеризира с знаци:
вероятностите за природни състояния са неизвестни;
решението се изпълнява от малък брой решения;
известен риск е позволен.
Пример 3Намерете оптималното решение на статистическата игра, дадено от матрицата на изплащане, като използвате критерия на Хурвиц.
Решение.
За нанасяне Критерий на Хурвицтрябва да знаете стойността на вероятността. Нека, например,. Това означава, че искаме да направим събитието „най-малката възможна победа на статистик“ по-правдоподобно (близко до единица), тоест се застраховаме от неблагоприятни ситуации в играта. Тогава
Нека запишем всички междинни резултати в таблицата.
От последната колона на таблицата се вижда, че максималната стойност е (–7,2) и съответства на нето стратегии ; тя ще бъде оптимална според критерия на Хурвиц.
Анализът на практическите ситуации се извършва по няколко критерия едновременно, което ви позволява да изследвате по-задълбочено същността на явлението и да изберете най-разумното управленско решение. Като оптимален въз основа на кумулативно изследваневзема се стратегията, която най-често се нарича оптимална по всички критерии.
Изборът на критерий (както и изборът на принцип на оптималност) е най-трудната и отговорна задача в теорията на решенията. Въпреки това, дадена ситуация никога не е толкова несигурна, че да е невъзможно да се получи поне частична информация за вероятностното разпределение на природните състояния. В този случай, след като се оцени вероятностното разпределение на природните състояния, се използва методът на Bayes-Laplace или се провежда експеримент за изясняване на поведението на природата.
тестови въпроси
- условия несигурностизползвайки размития апарат...
Осиновяване решенияв условиянесигурност (5)
Резюме >> Държава и правоСитуация на риск, а за друга - несигурност. Риск приеманенай-лошото решенияв условия, когато са известни всички начални ... защото в процеса приемане решениятрябва да направите избор в условия несигурност.. Процедури и методи на система...
Осиновяванеуправленски решенияв условияриск и несигурност
Резюме >> Управление... Осиновяванеуправленски решенияв условияриск и несигурност. План: Въведение. Източници и видове несигурност. Осиновяване решенияв условия несигурност... и видове несигурност. Осиновяване
Какво се разбира под игри с природата?
Какви критерии използва статистикът, за да определи своята оптимална стратегия при несигурност?
Какво се разбира под риск на играча?
Обяснете принципите на използване на модели на теория на игрите в икономически задачиах в лицето на несигурността (игри с природата).
1.4.Критерий песимизъм-оптимизъм Хурвиц.
Изглежда логично, когато избирате решение, вместо две крайности в оценката на ситуацията, да се придържате към някаква междинна позиция, която отчита възможността както за най-лошото, така и за най-доброто, благоприятно поведение на природата. Такъв компромисен вариант беше предложен от Хурвиц. Съгласно този подход за всяко решение е необходимо да се определи линейна комбинация от минимална и максимална печалба и да се вземе стратегията, за която тази стойност ще бъде най-голяма, т.е. опитвайки се да заеме балансирана позиция, Хурвиц предлага критерий (HW), чиято оценъчна функция е някъде между точките на краен оптимизъм и краен песимизъм. Функцията за оценка има две форми: Z H W =, (5) където е „степента на песимизъм“ („коефициент на песимизъм“, коефициент на тежест), 0 1. Правилото за избор според критерия на Хурвиц (HW - критерий) се формулира, както следва: Матрицата за вземане на решения се допълва с колона, съдържаща претеглените средни стойности на най-малките и най-големите резултати от всеки ред. Тези опции са избраниXi, чиито редове съдържат най-големите елементиа ir тази колона.Когато =1, критерият на Хурвиц (5) е идентичен с критерия на Валд, а когато =0, той е идентичен с критерия за екстремен оптимизъм (критерий на комарджия), който препоръчва избор на стратегия, за която най-голямата печалба в линията е максимално. В техническите приложения правилният избор на този фактор може да бъде толкова труден, колкото и изборът на критерий. Едва ли е възможно да се намери количествена характеристика за тези дялове на оптимизъм и песимизъм, които присъстват при вземане на решение. Затова най-често коефициентът на тежест =0,5 се приема без възражения като някаква „осреднена” гледна точка. Изборът на стойността на степента на песимизъм се влияе от мярката на отговорност: колкото по-сериозни са последиците от погрешни решения, толкова по-голямо е желанието на вземащия решение да се застрахова, тоест степента на песимизъм е по-близо до единица . Разгледайте приложението на критерия на Хурвиц за данните в таблица 1 и степента на песимизъм =0,6. За стратегия X 1 минималната стойност е 1, а максималната е 10. Използвайки формула (6), изчисляваме 1 r =0,6*1+0,4*10=4,6. По същия начин за втората стратегия. Намерете максималната стойност на колона a ir . В резултат на това получаваме таблица 11. Таблица 11|
|
|||||
, (6) където - „степен на оптимизъм” („коефициент на оптимизъм”, коефициент на тежест), 01. Когато =0, критерият на Хурвиц (6) е идентичен с критерия на Валд, а когато =1, той съвпада с максиминното решение. Критерият на Хурвиц налага следните изисквания към ситуацията, в която се взема решението: - нищо не се знае за вероятностите за поява на Bj; с появата на състояния Bj трябва да се има предвид; прилагат се само малък брой решения; известен риск е позволен.
1.5 Критерий на Savage (критерий за минимакс на риска).
На практика изборът на един от възможни решения, често се спират на този, чието изпълнение ще доведе до най-малко сериозни последствия, ако изборът се окаже грешен . Този подход за избор на решение е математически формулиран от американския статистик Савидж през 1954 г. и е наречен принцип на Савидж. Той е особено удобен при икономически проблеми и често се използва за избор на решения в игрите на човека с природата. Според принципа на Савидж, всяко решение се характеризира с размера на допълнителните загуби, които възникват при прилагането на това решение, в сравнение с прилагането на решение, което е правилно за дадено състояние на природата. Естествено правилното решение не води до допълнителни загуби и тяхната стойност е нула. При избора на решение, което най-добре отговаря на различните природни състояния, трябва да се вземат предвид само тези допълнителни загуби, които по същество ще бъдат резултат от грешки при избора. За решаване на проблема се изгражда така наречената „матрица на риска“, чиито елементи показват каква загуба ще понесе играчът (DM) в резултат на избора на неоптимално решение. Рискиграч r ij при избора на стратегия азв условията (състоянията) на природата йе разликата между максималната печалба, която може да бъде получена при тези условия, и печалбата, която играчът ще получи при същите условия чрез прилагане на стратегия i. Ако играчът знаеше предварително бъдещото състояние на природата j, той би избрал стратегията, която съответства на максималния елемент в дадената колона:
и след това рискът: 
. Критерият на Savage препоръчва при условия на несигурност да се избере решение, което осигурява минималната стойност на максималния риск:
З
С
=
.
(6) Помислете за прилагането на критерия Savage за данните от таблица 10. Изграждаме матрица на "рискове" за това, намираме максималните стойности за всяка колона от таблица 1. Те са равни на 1,1; 10 и 1.2, съответно, и намерете стойностите на риска, като използвате формулата. Ние допълваме тази матрица с колона с най-големите разлики. Избираме онези опции, в редовете на които има най-малката стойност за тази колона. В резултат на това получаваме таблица 12. Таблица 12. Матрица на риска 1.6 Критерий на Лаплас.
В редица случаи следното разсъждение изглежда правдоподобно: тъй като бъдещите състояния на природата са неизвестни, те могат да се считат за еднакво вероятни. Този подход на решение се използва в критерия „ недостатъчна причина“ Лаплас. За да се реши задачата, за всяко решение се изчислява математическото очакване на печалбата (вероятностите на природните състояния се приемат равни на q j = 1/n, j = 1: n) и решението се избира за при което стойността на тази печалба е максимална. Z L =
. Хипотезата за равновероятността на природните състояния е доста изкуствена, така че принципът на Лаплас може да се използва само в ограничени случаи. В по-общ случай трябва да се вземе предвид, че природните състояния не са еднакво вероятни и да се използва критерият на Байс-Лаплас за решаване. 1.7 Критерий на Байс-Лаплас.
Този критерий се отклонява от условията на пълна несигурност - той предполага, че определена вероятност за тяхното възникване може да се припише на възможни природни състояния и след като се определи математическото очакване на изплащането за всяко решение, се избира това, което осигурява най-голяма стойност на изплащане : Z BL =
. Този метод предполага възможност за използване на някаква предварителна информация за състоянието на природата. Това предполага както повторяемостта на природните състояния, така и повторяемостта на решенията и преди всичко наличието на достатъчно надеждни данни за минали природни състояния. Тоест, въз основа на предишни наблюдения, прогнозирайте бъдещото състояние на природата ( статистически принцип). Връщайки се към нашата таблица 1, нека приемем, че q 1 =0,4, q 2 =0,2 и q 3 =0,4. След това, според критерия Bayes-Laplace, таблица 1 се допълва с колона от математически очаквания и сред тези стойности избираме максимума. Получаваме таблица 13. Таблица 13. - вероятностите за възникване на състояния Bj са известни и не зависят от времето; решението се реализира (теоретично) безкрайно много пъти; за малък брой реализации на решението се допуска известен риск.
| Решение | Критерии |
|||||
| Стратегии | Уолда | maxmax | Хървиц,=0.6 | Дивак | Лаплас | Байес-Лапласр 1 =0.4, р 2 =0.2, р 3 =0.4 |
а ij = 100 ´ мин. (5´ х аз ; б й ) - 170 ´ х аз - 730
Тези. правилото за вземане на решение в нашия проблем е формулирано като "приходи - разходи". След извършване на прости изчисления, ние попълваме матрицата за вземане на решения (a ij) (вижте Таблица 15): Таблица 15. Матрица на изплащане
З ММ =макс(-70 ; -240; -410; -580)= -70
Заключение : когато се взема решение според критерия Wald, яхт клубът трябва да закупи 2 яхти и максималната очаквана загуба няма да надвишава 70 CU. Критерий на Хурвиц(компромисно решение между най-лошия резултат и прекалено оптимистичния). Помислете за промяната в решението на нашия проблем в зависимост от стойностите на коефициента на оптимизъм (в таблица 16 стойностите, които отговарят на критерия на Хурвиц, са подчертани за различни ): Таблица 16. Решения на Хурвиц за различни Теорията на решенията е приложна дисциплина и изследователска област, включваща концепциите и методите на математиката, статистиката, икономиката, управлението и психологията, която изучава методи и модели във формата на икономически приложения.
Проблемът с избора на решение в условията на несигурност се решава най-просто, когато, въпреки че не знаем условията за извършване на операцията (естественото състояние), знаем техните вероятности:
В този случай, като показател за ефективност, който се стремим да максимизираме, е естествено да се вземе средната стойност или математическото очакване за печалба, като се вземат предвид вероятностите на всички възможни условия.
Нека означим тази средна стойност за стратегията на играча като
или накратко,
Очевидно няма нищо повече от претеглена средна стойност на печалбите на редове, взети с kes. Като оптимална стратегия е естествено да се избере една от стратегиите, за която стойността става максимална.
С помощта на тази техника проблемът за избор на решение при условия на несигурност се превръща в проблем за избор на решение при условия на сигурност, само взетото решение е оптимално не във всеки отделен случай, а средно.
Пример 1. Планирана е операция при неизвестни досега метеорологични условия; опции за тези условия: Според материалите на метеорологичните доклади за много години, честотите (вероятностите) на тези опции са равни, съответно:
Възможните варианти за организиране на операцията при различни метеорологични условия носят различни ползи. Стойностите на "доход" за всяко решение при различни условия са дадени в табл. 13.1
Таблица 13.1
Последният ред дава вероятностите на условията. Средните печалби са показани в последната колона. Това показва, че оптималната стратегия на играча е неговата стратегия, която дава средна печалба (отбелязана със звездичка).
Когато избирате оптималната стратегия в неизвестни условия с известни вероятности, можете да използвате не само средната печалба
но и среден риск
която, разбира се, трябва да бъде обърната не на максимум, а на минимум.
Ще покажем, че стратегията, която максимизира средната печалба, е същата като стратегията, която минимизира средния риск. Изчислете двата показателя и ги добавете:
(13.2)
Тази сума (претеглената средна стойност на максимумите на колоните) за тази матрица е постоянна стойност; Нека го наречем C:
откъдето е средният риск
Очевидно тази стойност се превръща в минимум в същото време, когато a - към максимум, следователно стратегията, избрана от условията на минималния среден риск, съвпада със стратегията, избрана от условията на максималната средна печалба.
Забележете, че в случай, че са известни вероятностите на природните състояния, при решаване на игра с природата винаги може да се работи с чисти стратегии, без да се използват смесени. Наистина, ако приложим някаква смесена стратегия
т.е. стратегия с вероятност, стратегия с вероятност и т.н., тогава средната ни печалба, осреднена както за условията (естествените състояния), така и за нашите стратегии, ще бъде:
Това е среднопретеглена стойност на печалбите, съответстващи на нашите чисти стратегии.
Но е ясно, че всяка средна стойност не може да надвишава максимума от осреднените стойности:
Следователно използването на смесена стратегия с всякакви вероятности не може да бъде по-изгодно за играча от използването на чиста стратегия.
Вероятностите на условията (естествените състояния) могат да бъдат определени от статистически данни, свързани с многократното изпълнение на такива операции или просто с наблюдения върху природните състояния. Например ако железопътна линияЗа даден период от време трябва да се извърши не напълно известен обем трафик, след което данните за разпределението на условията могат да бъдат взети от опита от минали години. Ако, както в предишния пример, успехът на операцията зависи от метеорологичните условия, данните за тях могат да бъдат взети от статистиката на метеорологичните доклади.
Но често има случаи, когато, започвайки да извършваме операция, нямаме представа за вероятностите на природните състояния; цялата ни информация е сведена до списък с възможни състояния и не можем да оценим техните вероятности. Например, малко вероятно е да можем разумно да оценим вероятността важно техническо изобретение да бъде предложено и внедрено през следващите k години.
Разбира се, в такива случаи вероятностите от условия (естествени състояния) могат да бъдат оценени субективно: някои от тях ни изглеждат повече, а други по-малко правдоподобни. За да превърнем субективните си представи за по-голямата или по-малката "правдоподобност" на една или друга хипотеза в числени оценки, могат да се използват различни техники. Така че, ако не можем да предпочетем нито една хипотеза, ако всички те са еднакви за нас, тогава е естествено да присвоим техните вероятности една на друга:
Това е така нареченият "принцип на недостатъчната причина" на Лаплас. Друг често срещан случай е, когато имаме представа кои условия са по-вероятни и кои са по-малко вероятни, т.е. можем да подредим наличните хипотези в низходящ ред на тяхната вероятност: първата хипотеза е най-вероятна (на, след това втората ) хипотезата е най-малко вероятна (). Колко обаче едното от тях е по-вероятно от другото – не знаем. В този случай може, например, да се присвоят вероятностите на хипотезите да бъдат пропорционални на членовете на намаляваща аритметична прогресия:
или предвид това
Понякога е възможно въз основа на опита и здравия разум да се оценят по-фини разлики между степените на вероятност на хипотезите.
Такива методи за субективна оценка на "вероятност-правдоподобност" на различни хипотези за състоянието на природата понякога могат да помогнат при избора на решение. Но не трябва да забравяме, че „оптималното решение, избрано на базата на субективни вероятности, неизбежно ще се окаже и субективно. Степента на субективност на решението може да бъде намалена, ако вместо вероятностите, определени произволно от едно лице, въведем средни стойности на такива вероятности, определени, независимо един от друг, от група квалифицирани лица („експерти“). Методът на разпит на експерти обикновено се използва широко в съвременна наукакогато става въпрос за оценка на несигурна ситуация (например във футурологията). Опитът от прилагането на подобни методи учи, че често оценките на експертите (взети независимо една от друга) далеч не се оказват толкова противоречиви, колкото можеше да се предположи предварително, и е напълно възможно от тях да се извлекат някои предпоставки за вземане на разумно решение.
По-горе подчертахме въпроса за избора на решение въз основа на обективно изчислени или субективно зададени вероятности на природните състояния. Този подход в теорията на решенията не е единственият. В допълнение към него има още няколко „критерия“ или подхода за избор на оптимално решение в условия на несигурност. Нека се спрем на някои от тях.
1. Максиминен критерий на Валд
Съгласно този критерий се избира оптималната стратегия на играч А, при която минималната печалба е максимална, т.е. стратегията, която при всякакви условия гарантира печалба не по-малка от максимина:
(13.4)
Ако се ръководите от този критерий, винаги трябва да се фокусирате върху най-лошите условия и да изберете стратегията, за която печалбата е максимална при най-лошите условия. Използвайки такъв критерий в игрите с природата, ние сякаш заменяме този безличен и незаинтересован авторитет с активен и злонамерен противник. Очевидно подобен подход може да бъде продиктуван само от краен песимизъм в оценката на ситуацията - "винаги трябва да се разчита на най-лошото!" - но като един от възможните подходи заслужава внимание.
2. Минимаксният рисков критерий на Савидж
Същността на този критерий е да се избегне по всякакъв начин висок риск при вземане на решение.
Критерият на Савидж, както и критерият на Валд, е критерий за краен песимизъм, но само песимизмът тук се разбира по различен начин: най-лошото не е минималната печалба, а максималната загуба на печалба в сравнение с това, което може да се постигне при дадени условия (максимален риск).
3. Критерий песимизъм-оптимизъм Хурвиц
Този критерий препоръчва в условията на несигурност, когато избирате решение, да не се ръководите нито от краен песимизъм (винаги разчитайте на най-лошото!), нито от краен, несериозен оптимизъм (всичко ще се нареди по най-добрия възможен начин!) Хурвиц критерият има формата:
където е коефициент, избран между нула и едно.
Нека анализираме структурата на израз (13.6). За , критерият на Хурвиц се превръща в песимистичния критерий на Валд, а за , става критерий за „изключителен оптимизъм“, който препоръчва избор на стратегия, за която печалбата е максимална при най-добри условия. При се получава нещо между краен песимизъм и краен оптимизъм (коефициентът изразява, така да се каже, „мярката за песимизъм“ на изследователя). Този коефициент се избира от субективни съображения - колкото по-опасна е ситуацията, толкова повече искаме да се „застраховаме“ в нея, толкова по-близо до едно се избира и.
Ако желаете, можете да конструирате критерий, подобен на критерия за оптимизъм-песимизъм на Хурвиц, основан не на печалба, а на риск, както в критерия на Савидж, но ние няма да се спираме на това.
Въпреки че изборът на критерий, подобно на избора на параметър в теста на Хурвиц, е субективен, все пак може да е полезно да се разгледа ситуацията от гледна точка на тези критерии. Ако препоръките, произтичащи от различните критерии, са еднакви, толкова по-добре, можете спокойно да изберете препоръчаното от тях решение. Ако, както често се случва, препоръките си противоречат, винаги има смисъл да помислите върху това и да вземете окончателно решение, като вземете предвид неговите силни страни и Слабости. Анализът на матрицата на игра с природата от гледна точка на различни критерии често дава по-добра представа за ситуацията, за предимствата и недостатъците на всяко решение, отколкото директното изследване на матрицата, особено когато нейните размери са големи.
Пример 2. Разглеждаме игра с природа 4X3 с четири стратегии на играча: и три варианта на условия (естествени състояния): Матрицата на изплащане е дадена в табл. 13.2.
Таблица 13.2
Намерете оптималното решение (стратегия), като използвате критериите на Wald и Savage и критерия на Hurwitz за
Решение. 1. Критерий на Валд.
Във всеки ред на матрицата вземаме най-малкото усилване (Таблица 13.3).
От стойностите максималната (отбелязана със звездичка) е 0,25, следователно според критерия на Валд оптималната стратегия е
2. Критерий на Савидж.
Изграждаме матрица на риска и поставяме максималния риск във всеки ред в дясната допълнителна колона (Таблица 13.4).
Минимумът от стойностите е 0,60 (маркиран със звездичка); следователно според критерия на Савидж всяка една от стратегиите е оптимална
Таблица 13.3
3. Критерий на Хурвиц
Записваме в десните три колони на матрицата (Таблица 13 5) „песимистичната“ оценка на печалбата „оптимистична“ a); и среднопретеглената им стойност по формулата (13.6):
Максималната стойност (отбелязана със звездичка) съответства на стратегията.Следователно, според критерия на Хурвиц с лека граница към песимизма, оптималната стратегия е. Така и трите критерия са съгласни в полза на стратегията, която имаме всички основания да изберем (минимумът се взема за всички Намерете този минимакс (или максимин в критерия на Валд) може да се използва чрез конвенционални методи линейно програмиране. Възможно е да има случаи, когато използването на смесени стратегии, използващи критериите на Wald, Savage, Hurwitz, ще даде предимство пред решението, при което се използват само чисти стратегии, но ние ще разгледаме тези критерии само за чисти стратегии.
Една от причините за това е, че искаме да избегнем сложни изчисления, при които резултатът може да бъде анулиран поради липса на знания за ситуацията (непознаване на вероятностите на условията). Друга, по-важна причина е, че основното съдържание на теор статистически решения(ще се докоснем до него в следващия абзац) планира да получи и използва Допълнителна информацияза състоянието на природата, което може да се получи чрез опит. Изследванията показват, че в типичните случаи, когато става въпрос за получаване на нещо значителна сумадопълнителна информация, критериите, които не използват вероятности на състоянието (Walda и други), стават практически еквивалентни на критерий, базиран на вероятности на състояние. Но ние знаем, че когато се използва такъв критерий, използването на смесени стратегии няма смисъл; следователно, ако можем да получим каквото и да е количество допълнителна информация, използването на смесени стратегии губи смисъла си (какъвто и от критериите за избор на решение да използваме). Ако не можем чрез експериментиране да извлечем нова информация, тогава различни критерии могат да дадат противоречиви препоръки, както видяхме в пример 3.
Критерият Savage използва матрицата на риска || rij ||. Елементите на тази матрица могат да бъдат определени с формули (23), (24), които пренаписваме в следната форма:
Това означава, че r ij е разликата между най-добрата стойност в колона i и стойностите на V ji за същото i. Независимо дали V ji е доход (печалба) или загуби (разходи), r ji и в двата случая определя размера на загубата на вземащия решение. Следователно само минимаксният критерий може да се приложи към r ji. Критерият на Савидж препоръчва при условия на несигурност да се избере стратегията Rj, при която стойността на риска приема най-малката стойност в най-неблагоприятната ситуация (когато рискът е максимален).
Пример 6. Разгледайте пример 4. Дадената матрица определя загубите (разходите). Използвайки формула (31), изчисляваме елементите на матрицата на риска || r ij ||:
Резултатите от изчисленията, използващи критерия за минимален риск на Savage, са представени в следната таблица:
Въвеждането на рисковата стойност r ji доведе до избора на първата стратегия R 1, която осигурява най-малко загуби (разходи) в най-неблагоприятната ситуация (когато рискът е максимален).
Прилагането на критерия Savage позволява по всякакъв начин да се избегне голям риск при избора на стратегия, което означава избягване на по-голяма загуба (загуби).
4. Критерий на Хурвиц.
Критерият на Хурвиц се основава на следните две допускания: "природата" може да бъде в най-неблагоприятно състояние с вероятност (1 - α) и в най-благоприятно състояние с вероятност α, където α е факторът на доверие. Ако резултатът V j i е печалба, полезност, доход и т.н., тогава критерият на Хурвиц се записва, както следва:
Когато V ji представлява разходи (загуби), тогава изберете действие, което дава
Ако α = 0, получаваме песимистичния критерий на Wald.
Ако α = 1, тогава стигаме до правило за вземане на решение от формата max max V ji или така наречената стратегия на „здрав оптимист“, т.е. критерият е твърде оптимистичен.
Критерият на Хурвиц постига баланс между случаите на краен песимизъм и краен оптимизъм, като претегля и двете поведения с подходящи тегла (1 - α) и α, където 0≤α≤1. Стойността на α от 0 до 1 може да се определи в зависимост от склонността на вземащия решение да бъде песимист или оптимист. При липса на изразен наклон най-разумно изглежда α = 0,5.
Пример 7. Използваме критерия на Хурвиц в пример 4. Нека α = 0,5. Резултатите от необходимите изчисления са дадени по-долу:
Оптималното решение е да изберете W.
Така в примера трябва да изберете кое от възможните решения е за предпочитане:
според критерия на Лаплас - изборът на стратегия R 2 ,
по критерия на Wald - изборът на стратегия R 3 ;
по критерия на Савидж - изборът на стратегия R 1 ;
според критерия на Хурвиц с α = 0,5 - изборът на стратегия R 1 , а ако вземащият решение е песимист (α = 0), тогава изборът на стратегия R 3 .
Това се определя от избора на подходящия критерий (Лаплас, Валд, Савидж или Хурвиц).
Изборът на критерий за вземане на решение в условията на несигурност е най-трудната и критична стъпка в изследването на операциите. Въпреки това, няма общи съвети или препоръки. Изборът на критерий трябва да бъде направен от лицето, вземащо решение (ЛВ), като се вземат предвид специфичните специфики на решавания проблем и в съответствие с неговите цели, както и въз основа на минал опит и собствена интуиция.
По-специално, ако дори минималният риск е неприемлив, тогава трябва да се приложи критерият на Wald. Ако, напротив, определен риск е напълно приемлив и лицето, което взема решение, възнамерява да инвестира толкова много пари в дадено предприятие, така че по-късно да не съжалява, че е инвестирало твърде малко, тогава се избира критерият на Savage.
Задача за самостоятелно решаване: Напишете програма на C++, за да изберете най-ефективния автомобилен дизайн за производство, като използвате критериите на Laplace, Wald, Savage и Hurwitz.
Предвижда се мащабно производство на пътнически автомобили. Има четири варианта за проект на автомобила
Икономическата ефективност V ji на всеки проект се определя в зависимост от рентабилността на производството. След изтичане на три срока те се разглеждат като някакви състояния на околната среда (природата). Стойностите на икономическата ефективност за различни проекти и природни състояния са дадени в следната таблица (fu):
|
Природни състояния |
|||
Задължително за избор най-добър проектза производство по критериите на Laplace, Wald, Savage и Hurwitz при α=0,1. Сравнете решенията и направете изводи.
1. За всяко състояние на природата й (колона на матрицата) определя максималната стойност на изплащане y j :
yj = max( xij)
2. За всяка клетка от оригиналната матрица х намерете разликата между максималната печалба r j за дадено природно състояние и резултата в разглежданата клетка xij :
r ij = y j - x ij
От получените стойности ще съставим нова матрица Р - "матрица на съжаленията" или, както може да се нарече, матрица на пропуснатите печалби.
3. За всяка алтернатива в новата матрица Р намерете възможно най-голямата загубена печалба („максимално съжаление“). Това ще бъде оценката на тази алтернатива според критерия на Savage Si :
Si = max( rij), j=1..M
4. Алтернативата с минимална (!) Най-голяма загубена печалба може да се признае за оптимална:
Х* = Х k , S k = min( Si), i=1..N
Пример за прилагане на критерия Savage
Прилагаме посочения по-горе алгоритъм от действия, за да вземем решение при условията на задачата от табл. 3.
1. Да намерим най-голямата възможна печалба за всеки сценарий на развитие на региона:
y 1 = макс (x 11, x 21) =макс (45, 20) = 45
y 2 = макс (x 12, x 22) =макс (25, 60) = 60
y 3 = макс (x 13, x 23) =макс (50, 25) = 50
2. Изчислете стойностите на "съжаленията" за всеки проект при всеки сценарий (т.е. намерете пропуснатата печалба в сравнение с максимално възможната при този сценарий на развитие). Нека направим "матрица на съжаленията" от получените стойности (Таблица 4).
за проекта X 1 :
r 11 \u003d y 1 - x 11 \u003d 45 - 45 \u003d 0
r 12 \u003d y 2 - x 12 \u003d 60 - 25 \u003d 35
r 13 \u003d y 3 - x 13 \u003d 50 - 50 \u003d 0
за проекта X 2 :
r 21 \u003d y 1 - x 21 \u003d 45 - 20 \u003d 25
r 22 \u003d y 2 - x 22 \u003d 60 - 60 \u003d 0
r 23 \u003d y 3 - x 23 \u003d 50 - 25 \u003d 25
Таблица 4
Матрицата на съжалението Р (например).
4. В получената матрица за всеки ред намираме най великстойността на "съжаление" за всеки проект (последната колона в таблица 4). Тази стойност съответства на оценката на тази алтернатива по критерия на Савидж.
S 1 = макс (0, 35, 0) = 35
S2 = макс (25, 0, 25) = 25
5. Сравнете получените стойности и намерете проект с минималната (!) стойност на критерия. Оптимално ще бъде:
35 > 25 => S 1 > S 2 => X* = X 2
Вземащият решения, ръководейки се от критерия Savage при вземането на решения, ще избере проект X 2 .
Още веднъж подчертаваме, че за разлика от останалите критерии най-добрата алтернатива е тази, за която стойността на критерия на Савидж минимум, тъй като критерият отразява възможно най-голямата загубена печалба за тази алтернатива. Разбира се, колкото по-малко можете да пропуснете, толкова по-добре.
Обикновен (или обикновен) Критерий на Хурвицвзема предвид само крайни резултати x iмакси x iминвсяка алтернатива:
x i макс = макс ( xij), x iмин = мин.( xij), j = 1..M
Той ви позволява да вземете под внимание субективното отношение на лицето, вземащо решение, прилагайки този критерий, като придадете на тези резултати различни „тегла“. За да направите това, изчисляването на въведения критерий "коефициент на оптимизъм" λ, 0 ≤ λ ≤ 1 . Формулата за изчисляване на критерия на Хурвиц за аз алтернатива с коефициент на оптимизъм λ както следва:
З аз ( λ )= λ x iмакс + (1 - л)x iмин
Ако резултатите са възможни печалби, тогава алтернативата с максимална стойност на критерия на Хурвиц се признава за оптимална:
Х* = Х k , H k ( λ ) = макс ( H i(λ )), i = 1..N
Както се вижда от формулата, правилен изборкоефициент на оптимизъм λ оказва значително влияние върху резултата от прилагането на критерия. Нека разгледаме по-отблизо логиката на избора λ .
Ако вземащият решение е песимист, тогава за него е по-важно да загуби по-малко при лошо развитие на събитията, дори това да означава не толкова голяма печалба при добра ситуация. означава, специфично теглонай-лошия резултат x iминпри оценката на алтернативата трябва да бъде по-висока от за x i макс . Това се предоставя, когато λ е в рамките на 0 преди 0.5 с изключение на последната стойност.
При λ=0 критерият на Хурвиц се "изражда" в критерия на Валд и е подходящ само за много песимистично настроени лица, вземащи решения.
Оптимистът, който взема решения, напротив, се фокусира върху най-добрите резултати, тъй като за него е по-важно да спечели повече, отколкото да загуби по-малко. По-голям дял в оценката на най-добрия резултат се постига, когато λ Повече ▼ 0.5 и преди 1 включително. При λ=1 критерият на Hurwitz се превръща в критерия за "maximax", който взема предвид изключително най-високия резултат от всяка алтернатива.
Ако лицето, което взема решение, няма изразени пристрастия нито към песимизма, нито към оптимизма, коеф. λ взето равно на 0.5 .
Пример за прилагане на критерия Хурвиц
При условията на задачата от табл. 3, нека разгледаме вземането на решения според критерия на Хурвиц за оптимистично вземащ решения ( λ = 0,8 ), и вземащ решения песимист ( λ = 0,3 ). Процедурата е следната:
1. Намерете максимума x iмакси минимум x iминрезултати за всеки проект:
x 1макс = макс (45, 25, 50) = 50 x 1мин = мин (45, 25, 50) = 25
x 2 макс = макс (20, 60, 25) = 60 x 2мин = мин (20, 60, 25) = 20
2. Изчислете стойността на критерия Hurwitz за дадени стойности на коефициента на оптимизъм:
вземащ решения оптимист ( λ=0,8 ):
H 1 ( 0.8 )= λ x 1макс + (1 - л)х 1мин = 0,8 × 50 +(1 - 0.8 )×25 = 45
H 2 ( 0.8 )= λ x 2макс + (1 - л)x2мин = 0,8 × 60 +(1 - 0.8 )×20 = 52
вземащ решения песимист ( λ=0,3 ):
H 1 ( 0.3 )= λ x 1макс + (1-λ)х 1мин = 0,3×50 +(1 - 0.3 )×25 = 32,5
H 2 ( 0.3 )= λ x 2макс + (1-λ)x2мин = 0,3 × 60 +(1 - 0.3 )×20 = 32
3. Да сравним получените стойности. Оптимални за всеки вземащ решения ще бъдат алтернативите с максимална стойностКритерий на Хурвиц:
вземащ решения оптимист ( λ = 0,8 ):
45 < 52 =>H 1 (0,8)< H 2 (0.8) =>X* = X2
вземащ решения песимист ( λ = 0,3 ):
32.5 < 32 =>H 1 (0,3) > H 2 (0,3) => X* = X 1
Както виждаме, изборът на оптимална алтернатива при същите условия зависи основно от отношението на вземащия решение към риска. Ако за песимиста и двата проекта са приблизително равни, то оптимистът, който се надява на най-доброто, ще избере втория проект. Неговата висока най-добра печалба ( 60 ) за големи стойности на коефициента λ значително увеличава стойността на този проект според критерия на Хурвиц.
Недостатъкът на обичайния тест на Хурвиц е неговата "нечувствителност" към разпределението на резултатите между екстремни стойности. Това може да доведе до грешни решения. Например алтернативата A(100; 150; 200; 1000) по критерия на Хурвиц с „оптимистичен” коефициент λ = 0,7 по-добри алтернативи B(100; 750; 850; 950) , защото:
H A (0,7) = 0,7 × 1000 + (1 - 0,7) × 100 = 730
H B (0,7) = 0,7 × 950 + (1 - 0,7) × 100 = 695
Въпреки това, ако погледнете по-отблизо възможностите, които AT , става забележимо, че е по-изгодно. Нейните "вътрешни" резултати ( 750 и 850 ) е много по-добър от A (150 и 200) , а максималната печалба е само малко по-лоша ( 950 срещу 1000 ). В реалния живот би било по-логично да изберете AT .
Принцип на изграждане обобщен критерий на Хурвицподобен на предишния. На всички резултати, които се вземат предвид, се приписва определена „тежест“. Стойността на критерия за алтернатива се изчислява като претеглена сума от нейните резултати. Въпреки това, за да се избегнат недостатъците на "предшественика", обобщеният критерий взема предвид всички резултати от всяка алтернатива.
След това формулата за изчисляване на обобщения критерий за аз Алтернативата може да бъде написана по следния начин:
λ q- коефициент за р -та стойност аз -та алтернатива,
0≤λ q ≤1, λ 1 + ... + λ q + ... + λ M = 1
Оказва се, че за да се използва обобщеният критерий на Хурвиц, е необходимо да се присвои М (!) коефициенти λ q . Разбира се, това може да се направи произволно. Но с голям брой държави М това става много трудоемко, тъй като е необходимо коефициентите да отговарят на поне две условия:
1) сумата от всички тегловни коефициенти трябва да бъде равна на единица:
2) стойностите на коефициентите трябва да отразяват съотношението на вземащия решение към несигурността:
а) за оптимистичния човек, който взема решения, най-добрите резултати трябва да имат по-голяма „тежест“ и колкото по-добър е резултатът, толкова по-голяма е „тежестта“;
б) за песимистичния човек, който взема решения – вярно е обратното – най-лошите резултати имат по-голяма „тежест“ и колкото по-лош е резултатът, толкова по-голяма е „тежестта“:
За да не се задават произволно отделни коефициенти, бяха предложени формализирани методи за тяхното изчисляване, един от които ще разгледаме по-долу.