द पद्धतशीर साहित्यसंदर्भ उद्देशांसाठी आहे आणि विषयांच्या विस्तृत श्रेणीचा समावेश आहे. लेख मुख्य प्राथमिक कार्यांच्या आलेखांचे विहंगावलोकन प्रदान करतो आणि सर्वात महत्वाच्या समस्येचा विचार करतो - आलेख योग्यरित्या आणि जलद कसा तयार करायचा. उच्च गणिताचा अभ्यास करताना मूलभूत प्राथमिक कार्यांचे आलेख जाणून घेतल्याशिवाय ते कठीण होईल, म्हणून काही लक्षात ठेवण्यासाठी पॅराबोला, हायपरबोला, साइन, कोसाइन इत्यादींचे आलेख कसे दिसतात हे लक्षात ठेवणे फार महत्वाचे आहे. कार्य मूल्ये. आम्ही मुख्य फंक्शन्सच्या काही गुणधर्मांबद्दल देखील बोलू.

मी सामग्रीची पूर्णता आणि वैज्ञानिक परिपूर्णतेचा आव आणत नाही, सर्व प्रथम, सरावावर भर दिला जाईल - ज्या गोष्टींसह उच्च गणिताच्या कोणत्याही विषयात प्रत्येक टप्प्यावर अक्षरशः तोंड द्यावे लागते. डमीसाठी चार्ट? तुम्ही असे म्हणू शकता.

वाचकांच्या लोकप्रिय मागणीनुसार क्लिक करण्यायोग्य सामग्री सारणी:

याव्यतिरिक्त, विषयावर एक अति-लहान गोषवारा आहे
- सहा पृष्ठांचा अभ्यास करून 16 प्रकारच्या तक्त्यांवर प्रभुत्व मिळवा!

गंभीरपणे, सहा, मला स्वतःलाही आश्चर्य वाटले. या अ‍ॅबस्ट्रॅक्टमध्ये सुधारित ग्राफिक्स आहेत आणि ते नाममात्र शुल्कात उपलब्ध आहे, डेमो आवृत्ती पाहिली जाऊ शकते. फाईल मुद्रित करणे सोयीचे आहे जेणेकरून आलेख नेहमी हातात असतील. प्रकल्पाला पाठिंबा दिल्याबद्दल धन्यवाद!

आणि आम्ही लगेच सुरू करतो:

समन्वय अक्ष योग्यरित्या कसे तयार करावे?

प्रॅक्टिसमध्ये, चाचण्या जवळजवळ नेहमीच विद्यार्थ्यांनी पिंजऱ्यात ठेवलेल्या वेगळ्या नोटबुकमध्ये काढल्या जातात. तुम्हाला चेकर्ड मार्किंगची गरज का आहे? सर्व केल्यानंतर, काम, तत्त्वतः, A4 शीटवर केले जाऊ शकते. आणि पिंजरा फक्त रेखांकनांच्या उच्च-गुणवत्तेच्या आणि अचूक डिझाइनसाठी आवश्यक आहे.

फंक्शन आलेखाचे कोणतेही रेखाचित्र समन्वय अक्षांसह सुरू होते.

रेखाचित्रे द्विमितीय आणि त्रिमितीय आहेत.

प्रथम द्विमितीय प्रकरणाचा विचार करूया कार्टेशियन समन्वय प्रणाली:

1) आम्ही समन्वय अक्ष काढतो. अक्ष म्हणतात x-अक्ष , आणि अक्ष y-अक्ष . आम्ही नेहमी त्यांना रेखाटण्याचा प्रयत्न करतो व्यवस्थित आणि वाकडा नाही. बाण देखील पापा कार्लोच्या दाढीसारखे नसावेत.

2) आम्ही अक्षांवर "x" आणि "y" मोठ्या अक्षरांनी स्वाक्षरी करतो. अक्षांवर स्वाक्षरी करण्यास विसरू नका.

3) अक्षांसह स्केल सेट करा: शून्य आणि दोन काढा. रेखाचित्र बनवताना, सर्वात सोयीस्कर आणि सामान्य स्केल आहे: 1 युनिट = 2 सेल (डावीकडे रेखाचित्र) - शक्य असल्यास त्यास चिकटवा. तथापि, वेळोवेळी असे घडते की रेखाचित्र नोटबुक शीटवर बसत नाही - मग आम्ही स्केल कमी करतो: 1 युनिट = 1 सेल (उजवीकडे रेखाचित्र). क्वचितच, परंतु असे घडते की रेखांकनाची स्केल आणखी कमी (किंवा वाढवणे) होते

मशिनगन वरून लिहू नका ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....समन्वय विमान डेकार्टेसचे स्मारक नाही आणि विद्यार्थी कबूतर नाही. आम्ही ठेवले शून्यआणि अक्षांसह दोन युनिट्स. कधी कधी ऐवजीयुनिट्स, इतर मूल्ये "शोधणे" सोयीस्कर आहे, उदाहरणार्थ, ऍब्सिसा अक्षावर "दोन" आणि ऑर्डिनेट अक्षावर "तीन" - आणि ही प्रणाली (0, 2 आणि 3) देखील अद्वितीयपणे समन्वय ग्रिड सेट करेल.

रेखाचित्र काढण्यापूर्वी रेखांकनाच्या अंदाजे परिमाणांचा अंदाज लावणे चांगले.. म्हणून, उदाहरणार्थ, जर कार्यासाठी शिरोबिंदू , , , सह त्रिकोण काढणे आवश्यक असेल तर हे अगदी स्पष्ट आहे की लोकप्रिय स्केल 1 युनिट = 2 सेल कार्य करणार नाही. का? चला मुद्दा पाहू - येथे तुम्हाला पंधरा सेंटीमीटर खाली मोजावे लागेल आणि, स्पष्टपणे, रेखाचित्र नोटबुकच्या शीटवर बसणार नाही (किंवा अगदीच फिट होणार नाही). म्हणून, आम्ही लगेच लहान स्केल 1 युनिट = 1 सेल निवडतो.

तसे, सुमारे सेंटीमीटर आणि नोटबुक सेल. 30 नोटबुक सेलमध्ये 15 सेंटीमीटर आहेत हे खरे आहे का? रूलरसह 15 सेंटीमीटर व्याजासाठी नोटबुकमध्ये मोजा. यूएसएसआरमध्ये, कदाचित हे खरे होते ... हे लक्षात घेणे मनोरंजक आहे की जर आपण हे समान सेंटीमीटर क्षैतिज आणि अनुलंब मोजले तर परिणाम (सेलमध्ये) भिन्न असतील! काटेकोरपणे सांगायचे तर, आधुनिक नोटबुक चेकर्ड नसून आयताकृती आहेत. हे मूर्खपणासारखे वाटू शकते, परंतु अशा परिस्थितीत होकायंत्र असलेले वर्तुळ काढणे खूप गैरसोयीचे आहे. खरे सांगायचे तर, अशा क्षणी तुम्ही कॉम्रेड स्टॅलिनच्या अचूकतेबद्दल विचार करायला सुरुवात करता, ज्याला उत्पादनातील हॅक वर्कसाठी शिबिरांमध्ये पाठवले गेले होते, घरगुती ऑटोमोटिव्ह उद्योग, पडणारी विमाने किंवा स्फोट होणारे पॉवर प्लांट यांचा उल्लेख न करता.

गुणवत्तेबद्दल बोलणे, किंवा स्टेशनरीबद्दल थोडक्यात शिफारस. आजपर्यंत, विक्रीवरील बहुतेक नोटबुक, वाईट शब्द न बोलता, पूर्ण गॉब्लिन आहेत. ते ओले होतात या कारणास्तव, आणि केवळ जेल पेनमधूनच नाही तर बॉलपॉईंट पेनमधून देखील! कागदावर जतन करा. नोंदणीसाठी नियंत्रण कार्य करतेमी अर्खंगेल्स्क पल्प आणि पेपर मिल (18 पत्रके, पिंजरा) किंवा पायटेरोचकाची नोटबुक वापरण्याची शिफारस करतो, जरी ते अधिक महाग आहे. जेल पेन निवडण्याचा सल्ला दिला जातो, अगदी स्वस्त चायनीज जेल रिफिल बॉलपॉईंट पेनपेक्षा खूप चांगले आहे, जे एकतर स्मीअर करते किंवा पेपर फाडते. एकमेव "स्पर्धात्मक" बॉलपॉईंट पेनमाझ्या आठवणीत "एरिच क्रॉस" आहे. ती स्पष्टपणे, सुंदर आणि स्थिरपणे लिहिते - एकतर पूर्ण स्टेमसह किंवा जवळजवळ रिकाम्या सह.

याव्यतिरिक्त: विश्लेषणात्मक भूमितीच्या डोळ्यांद्वारे आयताकृती समन्वय प्रणालीची दृष्टी लेखात समाविष्ट केली आहे वेक्टर्सचे रेखीय (गैर) अवलंबित्व. वेक्टर आधार, तपशीलवार माहितीकोऑर्डिनेट क्वार्टरबद्दल धड्याच्या दुसऱ्या परिच्छेदात आढळू शकते रेखीय असमानता.

3D केस

इथेही जवळपास सारखेच आहे.

1) आम्ही समन्वय अक्ष काढतो. मानक: अक्ष लागू करा – वर निर्देशित, अक्ष – उजवीकडे निर्देशित, अक्ष – खाली डावीकडे काटेकोरपणे 45 अंशांच्या कोनात.

2) आम्ही अक्षांवर स्वाक्षरी करतो.

3) अक्षांसह स्केल सेट करा. अक्षाच्या बाजूने स्केल - इतर अक्षांसह स्केलपेक्षा दोन पट लहान. हे देखील लक्षात घ्या की योग्य रेखांकनात, मी अक्षाच्या बाजूने एक नॉन-स्टँडर्ड "सेरिफ" वापरला आहे (ही शक्यता आधीच वर नमूद केलेली आहे). माझ्या दृष्टिकोनातून, ते अधिक अचूक, जलद आणि अधिक सौंदर्यदृष्ट्या सुखकारक आहे - तुम्हाला सूक्ष्मदर्शकाखाली सेलच्या मध्यभागी शोधण्याची आणि मूळपर्यंत युनिटला "शिल्प" करण्याची आवश्यकता नाही.

पुन्हा 3D रेखांकन करताना - स्केलला प्राधान्य द्या
1 युनिट = 2 सेल (डावीकडे रेखाचित्र).

हे सर्व नियम कशासाठी आहेत? नियम तोडायचे आहेत. आता मी काय करणार आहे. वस्तुस्थिती अशी आहे की लेखाची पुढील रेखाचित्रे माझ्याद्वारे एक्सेलमध्ये तयार केली जातील आणि समन्वय अक्ष दृष्टिकोनातून चुकीचे दिसतील. योग्य डिझाइन. मी सर्व आलेख हाताने काढू शकतो, परंतु ते काढणे खरोखरच भीतीदायक आहे, कारण एक्सेल ते अधिक अचूकपणे काढण्यास नाखूष आहे.

आलेख आणि प्राथमिक कार्यांचे मूलभूत गुणधर्म

रेखीय कार्य समीकरणाद्वारे दिले जाते. रेखीय कार्य आलेख आहे थेट. सरळ रेषा तयार करण्यासाठी, दोन बिंदू जाणून घेणे पुरेसे आहे.

उदाहरण १

फंक्शन प्लॉट करा. चला दोन मुद्दे शोधूया. गुणांपैकी एक म्हणून शून्य निवडणे फायदेशीर आहे.

जर तर

आम्ही आणखी काही मुद्दे घेतो, उदाहरणार्थ, १.

जर तर

कार्ये तयार करताना, गुणांचे निर्देशांक सहसा सारणीमध्ये सारांशित केले जातात:

आणि मूल्ये स्वतः तोंडी किंवा मसुदा, कॅल्क्युलेटरवर मोजली जातात.

दोन गुण सापडले आहेत, चला काढूया:

रेखाचित्र काढताना, आम्ही नेहमी ग्राफिक्सवर स्वाक्षरी करतो.

रेखीय कार्याची विशेष प्रकरणे आठवणे अनावश्यक होणार नाही:

मी मथळे कसे ठेवले ते पहा, रेखांकनाचा अभ्यास करताना स्वाक्षरी संदिग्ध नसावी. एटी हे प्रकरणओळींच्या छेदनबिंदूच्या पुढे किंवा आलेखांच्या दरम्यान उजवीकडे तळाशी स्वाक्षरी ठेवणे अत्यंत अवांछित होते.

1) फॉर्म () च्या रेखीय कार्यास थेट आनुपातिकता म्हणतात. उदाहरणार्थ, . थेट आनुपातिकता आलेख नेहमी उत्पत्तीमधून जातो. अशा प्रकारे, सरळ रेषेचे बांधकाम सोपे केले आहे - फक्त एक बिंदू शोधणे पुरेसे आहे.

2) फॉर्मचे समीकरण अक्षाच्या समांतर सरळ रेषा परिभाषित करते, विशेषतः, अक्ष स्वतः समीकरणाद्वारे दिलेला असतो. फंक्शनचा आलेख कोणताही बिंदू न शोधता लगेच तयार केला जातो. म्हणजेच, एंट्री खालीलप्रमाणे समजली पाहिजे: "y नेहमी x च्या कोणत्याही मूल्यासाठी -4 च्या समान असते."

3) फॉर्मचे समीकरण अक्षाच्या समांतर सरळ रेषा परिभाषित करते, विशेषतः, अक्ष स्वतः समीकरणाद्वारे दिलेला असतो. फंक्शनचा आलेख देखील लगेच तयार केला जातो. एंट्री खालीलप्रमाणे समजली पाहिजे: "x हे नेहमी, y च्या कोणत्याही मूल्यासाठी, 1 च्या बरोबरीचे असते."

काहीजण विचारतील, बरं, सहावी इयत्ता का आठवते?! हे असेच आहे, कदाचित असेच आहे, केवळ सरावाच्या वर्षांमध्ये मला चांगले डझनभर विद्यार्थी भेटले जे किंवा सारखे आलेख तयार करण्याच्या कार्याने हैराण झाले होते.

रेखाचित्रे तयार करताना सरळ रेषा काढणे ही सर्वात सामान्य क्रिया आहे.

विश्लेषणात्मक भूमितीच्या कोर्समध्ये सरळ रेषेवर तपशीलवार चर्चा केली आहे आणि ज्यांना इच्छा आहे ते लेखाचा संदर्भ घेऊ शकतात. विमानावरील सरळ रेषेचे समीकरण.

चतुर्भुज फंक्शन आलेख, क्यूबिक फंक्शन आलेख, बहुपदी आलेख

पॅराबोला. चतुर्भुज कार्याचा आलेख () एक पॅराबोला आहे. प्रसिद्ध प्रकरणाचा विचार करा:

फंक्शनचे काही गुणधर्म लक्षात घेऊ.

तर, आपल्या समीकरणाचे निराकरण: - या टप्प्यावर पॅराबोलाचा शिरोबिंदू स्थित आहे. हे असे का आहे हे व्युत्पन्नावरील सैद्धांतिक लेख आणि फंक्शनच्या टोकावरील धड्यातून शिकता येते. दरम्यान, आम्ही "y" च्या संबंधित मूल्याची गणना करतो:

तर शिरोबिंदू बिंदूवर आहे

पॅराबोलाची सममिती निर्लज्जपणे वापरताना आता आपल्याला इतर बिंदू सापडतात. हे कार्य लक्षात घेतले पाहिजे – समान नाही, परंतु, तरीही, कोणीही पॅराबोलाची सममिती रद्द केली नाही.

उर्वरित गुण कोणत्या क्रमाने शोधायचे, मला वाटते ते अंतिम सारणीवरून स्पष्ट होईल:

या बांधकाम अल्गोरिदमला लाक्षणिक अर्थाने "शटल" किंवा अनफिसा चेखोवासह "पुढे आणि पुढे" तत्त्व म्हटले जाऊ शकते.

चला एक रेखाचित्र बनवू:

विचारात घेतलेल्या आलेखांमधून, आणखी एक उपयुक्त वैशिष्ट्य लक्षात येते:

चतुर्भुज कार्यासाठी () खालील सत्य आहे:

जर , तर पॅराबोलाच्या फांद्या वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात.

जर , तर पॅराबोलाच्या फांद्या खालच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात.

हायपरबोला आणि पॅराबोला या धड्यातून वक्राचे सखोल ज्ञान मिळू शकते.

क्यूबिक पॅराबोला फंक्शनद्वारे दिले जाते. येथे शाळेपासून परिचित असलेले रेखाचित्र आहे:

आम्ही फंक्शनच्या मुख्य गुणधर्मांची यादी करतो

कार्य आलेख

हे पॅराबोलाच्या एका शाखेचे प्रतिनिधित्व करते. चला एक रेखाचित्र बनवू:

फंक्शनचे मुख्य गुणधर्म:

या प्रकरणात, अक्ष आहे अनुलंब लक्षण येथे हायपरबोला आलेखासाठी.

रेखाचित्र काढताना, निष्काळजीपणाने, आपण आलेखाला एसिम्प्टोटसह छेदू दिल्यास, ही एक मोठी चूक असेल.

तसेच एकतर्फी मर्यादा, आम्हाला सांगा की हायपरबोल वरून मर्यादित नाहीआणि खाली पासून मर्यादित नाही.

चला अनंत येथे फंक्शन एक्सप्लोर करूया: , म्हणजे, जर आपण अक्षाच्या बाजूने डावीकडे (किंवा उजवीकडे) अनंताकडे जायला सुरुवात केली, तर “गेम्स” ही एक पातळ पायरी असेल. असीम जवळशून्याकडे जा, आणि त्यानुसार, हायपरबोलाच्या शाखा असीम जवळअक्षाकडे जा.

तर अक्ष आहे क्षैतिज लक्षण फंक्शनच्या आलेखासाठी, जर "x" अधिक किंवा वजा अनंताकडे झुकत असेल.

फंक्शन आहे विषम, याचा अर्थ हायपरबोला मूळच्या संदर्भात सममितीय आहे. हे तथ्य रेखाचित्रातून स्पष्ट आहे, याव्यतिरिक्त, ते विश्लेषणात्मकपणे सहजपणे सत्यापित केले जाऊ शकते: .

फॉर्म () च्या फंक्शनचा आलेख हायपरबोलाच्या दोन शाखा दर्शवतो.

जर , तर हायपरबोला पहिल्या आणि तिसऱ्या समन्वय चतुर्थांशांमध्ये स्थित आहे(वरील चित्र पहा).

जर , तर हायपरबोला दुसऱ्या आणि चौथ्या कोऑर्डिनेट क्वाड्रंटमध्ये स्थित आहे.

आलेखांच्या भौमितिक परिवर्तनाच्या दृष्टिकोनातून हायपरबोलाच्या निवासस्थानाच्या निर्दिष्ट नियमिततेचे विश्लेषण करणे कठीण नाही.

उदाहरण ३

हायपरबोलाची उजवी शाखा तयार करा

आम्ही पॉइंटवाइज बांधकाम पद्धत वापरतो, परंतु मूल्ये निवडणे फायदेशीर आहे जेणेकरून ते पूर्णपणे विभाजित होतील:

चला एक रेखाचित्र बनवू:

हायपरबोलाची डावी शाखा तयार करणे कठीण होणार नाही, येथे फंक्शनची विचित्रता मदत करेल. ढोबळपणे बोलायचे झाल्यास, बिंदूनिहाय बांधकाम तक्त्यामध्ये, मानसिकदृष्ट्या प्रत्येक संख्येत एक वजा जोडा, संबंधित ठिपके टाका आणि दुसरी शाखा काढा.

विचारात घेतलेल्या रेषेबद्दल तपशीलवार भौमितिक माहिती हायपरबोला आणि पॅराबोला या लेखात आढळू शकते.

घातांकीय कार्याचा आलेख

या परिच्छेदात, मी ताबडतोब घातांक कार्याचा विचार करेन, कारण उच्च गणिताच्या समस्यांपैकी 95% प्रकरणांमध्ये ते घातांक आहे.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की - ही एक अपरिमेय संख्या आहे: , आलेख तयार करताना हे आवश्यक असेल, जे खरं तर, मी समारंभाशिवाय तयार करेन. तीन गुण कदाचित पुरेसे आहेत:

फंक्शनचा आलेख आत्तासाठी सोडूया, त्याबद्दल नंतर.

फंक्शनचे मुख्य गुणधर्म:

मूलभूतपणे, फंक्शन्सचे आलेख एकसारखे दिसतात, इ.

मला असे म्हणायचे आहे की दुसरी केस व्यवहारात कमी सामान्य आहे, परंतु ती घडते, म्हणून मला या लेखात ते समाविष्ट करणे आवश्यक वाटले.

लॉगरिदमिक फंक्शनचा आलेख

नैसर्गिक लॉगरिथमसह कार्य विचारात घ्या.
चला एक रेषा काढूया:

लॉगरिदम म्हणजे काय हे विसरल्यास, कृपया शालेय पाठ्यपुस्तकांचा संदर्भ घ्या.

फंक्शनचे मुख्य गुणधर्म:

डोमेन:

मूल्यांची श्रेणी: .

फंक्शन वरून मर्यादित नाही: , जरी हळूहळू, परंतु लॉगरिदमची शाखा अनंतापर्यंत जाते.
उजवीकडील शून्य जवळ फंक्शनचे वर्तन तपासूया: . तर अक्ष आहे अनुलंब लक्षण उजवीकडे शून्याकडे झुकत असलेल्या "x" फंक्शनच्या आलेखासाठी.

लॉगरिदमचे विशिष्ट मूल्य जाणून घ्या आणि लक्षात ठेवा: .

मूलभूतपणे, बेसवरील लॉगरिदमचा प्लॉट एकसारखा दिसतो: , , (दशांश लॉगरिदम ते बेस 10), इ. त्याच वेळी, बेस जितका मोठा असेल तितका चार्ट चापलूस असेल.

आम्ही या प्रकरणाचा विचार करणार नाही, असे काहीतरी मला आठवत नाही जेव्हा मी शेवटच्या वेळी अशा आधारावर आलेख तयार केला होता. होय, आणि उच्च गणिताच्या समस्यांमध्ये लॉगॅरिथम एक अत्यंत दुर्मिळ अतिथी असल्याचे दिसते.

परिच्छेदाच्या शेवटी, मी आणखी एक तथ्य सांगेन: घातांकीय कार्य आणि लॉगरिदमिक कार्यदोन परस्पर आहेत व्यस्त कार्ये . तुम्ही लॉगरिदमच्या आलेखाकडे बारकाईने पाहिल्यास, तुम्ही पाहू शकता की हा एकच घातांक आहे, फक्त तो थोडा वेगळा आहे.

त्रिकोणमितीय कार्यांचे आलेख

शाळेत त्रिकोणमितीय त्रास कसा सुरू होतो? बरोबर. साइन पासून

फंक्शनचा आलेख बनवू

या ओळीला म्हणतात सायनसॉइड.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की "pi" ही एक अपरिमेय संख्या आहे: आणि त्रिकोणमितीमध्ये ती डोळ्यात चमकते.

फंक्शनचे मुख्य गुणधर्म:

हे कार्य आहे नियतकालिककालावधी सह. याचा अर्थ काय? चला कट बघूया. त्याच्या डावीकडे आणि उजवीकडे, आलेखाचा तोच तुकडा अविरतपणे पुनरावृत्ती होतो.

डोमेन: , म्हणजे, "x" च्या कोणत्याही मूल्यासाठी साइन मूल्य असते.

मूल्यांची श्रेणी: . फंक्शन आहे मर्यादित: , म्हणजे, सर्व "गेम" विभागात काटेकोरपणे बसतात.
हे घडत नाही: किंवा, अधिक तंतोतंत, ते घडते, परंतु या समीकरणांना समाधान नाही.

फंक्शन सामान्य स्वरूपात y = किंवा f(x) = असे लिहिले जाते

y आणि x आहेत व्यस्त प्रमाणात प्रमाण, म्हणजे जेव्हा एक वाढतो तेव्हा दुसरा कमी होतो (फंक्शनमध्ये संख्या प्लग करून तपासा)

मागील फंक्शनच्या विपरीत, ज्यामध्ये x 2 नेहमी सकारात्मक मूल्ये निर्माण करतो, येथे आपण असे म्हणू शकत नाही - = , कारण या पूर्णपणे विरुद्ध संख्या असतील. अशी कार्ये म्हणतात विषम.

उदाहरणार्थ, y = आलेख बनवू

स्वाभाविकच, x शून्य (x ≠ 0) बरोबर असू शकत नाही

शाखाहायपरबोलास निर्देशांकाच्या 1ल्या आणि 3र्‍या भागात असतात.

ते अ‍ॅब्सिसा आणि ऑर्डिनेट अक्षांपर्यंत अनंतपणे पोहोचू शकतात आणि त्यांच्यापर्यंत कधीही पोहोचू शकत नाहीत, जरी "x" एक अब्ज इतका झाला तरीही. हायपरबोला अमर्यादपणे जवळ असेल, परंतु तरीही अक्षांना छेदणार नाही (असे गणितीय दुःख आहे).

चला y = - साठी आलेख बनवू.

आणि आता हायपरबोलाच्या शाखा समन्वय समतलच्या दुसऱ्या आणि चौथ्या तिमाहीत आहेत.

परिणामी, सर्व शाखांमध्ये संपूर्ण सममिती पाहिली जाऊ शकते.

फंक्शनच्या ARGUMENT मध्ये स्थिरांक जोडल्यास, अक्षाच्या बाजूने आलेखाचे शिफ्ट (समांतर भाषांतर) होते. फंक्शन आणि सकारात्मक संख्या विचारात घ्या:

नियम:
1) फंक्शन आलेख तयार करण्यासाठी, तुम्हाला आलेख हलवावा लागेल सोबतप्रति युनिट अक्ष च्या डावी कडे;
२) फंक्शन आलेख तयार करण्यासाठी, तुम्हाला आलेख हलवावा लागेल सोबतप्रति युनिट अक्ष बरोबर.

उदाहरण 6

फंक्शन प्लॉट करा

आपण एक पॅराबोला घेतो आणि त्याला x-अक्षावर 1 युनिटने हलवतो बरोबर:

"आयडेंटिफिकेशन बीकन" हे मूल्य आहे, येथेच पॅराबोलाचा वरचा भाग आहे.

आता, मला असे वाटते की कोणालाही प्लॉट करण्यात अडचण येणार नाही (धड्याच्या सुरुवातीचे प्रात्यक्षिक उदाहरण) - क्यूबिक पॅराबोला 2 युनिट डावीकडे हलवावे लागेल.

येथे आणखी एक सामान्य केस आहे:

उदाहरण 7

फंक्शन प्लॉट करा

चला हायपरबोला (काळा रंग) अक्षाच्या बाजूने 2 युनिट्सने हलवू च्या डावी कडे:

हायपरबोला हलवल्याने एक मूल्य "देते" ज्यामध्ये समाविष्ट नाही कार्य व्याप्ती. एटी हे उदाहरण, आणि सरळ रेषा समीकरणसंच अनुलंब लक्षण(लाल ठिपके असलेली रेषा) फंक्शनचा आलेख (लाल घन रेषा). अशाप्रकारे, समांतर भाषांतरासह, आलेखाचे एसिम्प्टोट देखील बदलते (जे स्पष्ट आहे).

चला त्रिकोणमितीय फंक्शन्सकडे परत जाऊया:

उदाहरण 8

फंक्शन प्लॉट करा

सायन आलेख (काळा रंग) अक्षाच्या बाजूने अक्षाच्या बाजूने द्वारे हलविला जाईल च्या डावी कडे:

परिणामी लाल आलेख जवळून पाहूया.... हे नक्की कोसाइन प्लॉट आहे! खरं तर, आम्हाला एक भौमितिक चित्रण मिळाले कपात सूत्रे, आणि तुमच्या आधी, कदाचित, या त्रिकोणमितीय फंक्शन्सला जोडणारे सर्वात "प्रसिद्ध" सूत्र. फंक्शनचा आलेख साइनसॉइडला अक्षाच्या बाजूने डावीकडे हलवून प्राप्त केला जातो (आधीच धड्यात नमूद केल्याप्रमाणे आलेख आणि प्राथमिक कार्यांचे गुणधर्म). त्याचप्रमाणे, एखादी व्यक्ती इतर कोणत्याहीची वैधता सत्यापित करू शकते कपात सूत्रे.

जेव्हा युक्तिवाद एक रेखीय कार्य असेल तेव्हा रचना नियम विचारात घ्या: , तर पॅरामीटर "ka" समान नाहीशून्य किंवा एक, पॅरामीटर "be" - समान नाहीशून्य अशा फंक्शनचे प्लॉट कसे करायचे? शालेय अभ्यासक्रमातून, आम्हाला माहित आहे की गुणाकारांना जोडण्यापेक्षा प्राधान्य दिले जाते, म्हणून असे दिसते की प्रथम आम्ही मूल्यानुसार आलेख संकुचित / ताणतो / प्रदर्शित करतो आणि नंतर तो युनिट्सद्वारे हलवतो. परंतु येथे एक त्रुटी आहे आणि योग्य अल्गोरिदम खालीलप्रमाणे आहे:

फंक्शन आर्ग्युमेंट फॉर्ममध्ये सादर केले जाणे आवश्यक आहे आणि क्रमाने खालील परिवर्तने करणे आवश्यक आहे:

1) फंक्शनचा आलेख ऑर्डिनेटच्या अक्षावर (अक्षापासून) संकुचित (किंवा ताणलेला) आहे: (जर , तर आलेख अतिरिक्तपणे अक्षाच्या संदर्भात सममितीने प्रदर्शित केला पाहिजे).

2) परिणामी फंक्शनचा आलेख x-अक्षासह डावीकडे (किंवा उजवीकडे) हलविला जातो. वर (!!!) युनिट्स, परिणामी इच्छित आलेख तयार केला जाईल.

उदाहरण ९

फंक्शन प्लॉट करा

चला फॉर्ममध्ये फंक्शनचे प्रतिनिधित्व करू आणि खालील परिवर्तन करू: एक साइनसॉइड (काळा रंग):

1) पिळणे अक्षावरदोनदा: (निळा रंग);
2) अक्षाच्या बाजूने हलवा वर (!!!) च्या डावी कडे: (लाल रंग):

उदाहरण सोपे आहे असे दिसते, परंतु समांतर हस्तांतरणासह उड्डाण करणे ब्रीझपेक्षा सोपे आहे. आलेख बदलतो, द्वारे नाही.

आम्ही धड्याच्या सुरुवातीच्या कार्ये हाताळणे सुरू ठेवतो:

उदाहरण 10

फंक्शन प्लॉट करा

फंक्शन म्हणून प्रस्तुत करू. या प्रकरणात: बांधकाम तीन चरणांमध्ये केले जाईल. नैसर्गिक लॉगरिथमचा आलेख:

1) पिळणे अक्षावर 2 वेळा: ;
2) सममितीयपणे प्रदर्शित कराअक्षाच्या सापेक्ष : ;
3) अक्षाच्या बाजूने हलवा वर (!!!) उजवीकडे: :

स्व-नियंत्रणासाठी, तुम्ही X मूल्यांची जोडी अंतिम फंक्शनमध्ये बदलू शकता, उदाहरणार्थ, आणि परिणामी आलेख तपासा.

विचारात घेतलेल्या परिच्छेदांमध्ये, घटना "क्षैतिजरित्या" घडल्या - एकॉर्डियन वाजतो, पाय डावीकडे / उजवीकडे नाचतात. परंतु समान परिवर्तने "उभ्या" दिशेने - अक्षाच्या बाजूने होतात. मूलभूत फरक असा आहे की ते युक्तिवादाशी नाही तर स्वतः कार्याशी जोडलेले आहेत.

y-अक्षाच्या बाजूने आलेख ताणणे (संकुचित करणे).
abscissa अक्षाशी संबंधित आलेखाचे सममितीय प्रदर्शन

लेखाच्या दुसऱ्या भागाची रचना अगदी सारखी असेल.

1) FUNCTION ला संख्येने गुणले असल्यास त्याचा आलेख y-अक्षावर पसरत आहे.

नियम अक्ष बाजूने ताणणेवेळेत.

2) FUNCTION ला संख्येने गुणले असल्यास y-अक्षासह त्याच्या आलेखाचे कॉम्प्रेशन.

नियम: फंक्शन प्लॉट करण्यासाठी, जिथे, तुम्हाला फंक्शनचा आलेख आवश्यक आहे अक्षाच्या बाजूने संकुचित करावेळेत.

मी कोणते कार्य पुन्हा प्रयत्न करेन याचा अंदाज लावा =)

उदाहरण 11

फंक्शन आलेख तयार करा.

आम्ही मुकुट / टाचांनी सायनसॉइड घेतो:

आणि चित्र काढणेतिला अक्ष बाजूने 2 वेळा:

फंक्शनचा कालावधी बदलला नाही आणि आहे, परंतु मूल्ये (शून्य वगळता सर्व) वाढली आहेत मोड्युलोदोनदा, जे तार्किक आहे - सर्व केल्यानंतर, फंक्शन 2 ने गुणाकार केले जाते आणि त्याच्या मूल्यांची श्रेणी दुप्पट केली जाते: .

आता कॉम्प्रेससायनसॉइड अक्ष बाजूने 2 वेळा:

त्याचप्रमाणे, कालावधी बदलला नाही, परंतु फंक्शनची श्रेणी दोनदा "सपाट" झाली आहे: .

नाही, मला सायनसॉइडबद्दल कोणताही पूर्वग्रह नाही, मला फक्त हे दाखवायचे होते की फंक्शन आलेख (उदाहरणे क्र. १,३) नव्याने तयार केलेल्या समकक्षांपेक्षा कसे वेगळे आहेत. या प्राथमिक प्रकरणांचे विश्लेषण आणि चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी पुन्हा प्रयत्न करा. आलेख बदलांचे किमान ज्ञान देखील तुम्हाला उच्च गणिताच्या इतर समस्या सोडवण्यासाठी अमूल्य मदत करेल! . प्रकरणे

फंक्शन गुणांक k हे k = 0 व्यतिरिक्त कोणतेही मूल्य घेऊ शकते. प्रथम k = 1 असताना प्रकरणाचा विचार करूया; अशा प्रकारे, प्रथम आपण फंक्शनबद्दल बोलू.

फंक्शनचा आलेख तयार करण्यासाठी, आम्ही मागील परिच्छेदाप्रमाणेच करू: आम्ही स्वतंत्र व्हेरिएबल x ला अनेक विशिष्ट मूल्ये देऊ आणि अवलंबून असलेल्या संबंधित मूल्यांची गणना (सूत्र वापरून) करू. चल y खरे आहे, या वेळी गणिते आणि बांधकामे हळूहळू पार पाडणे अधिक सोयीस्कर आहे, प्रथम केवळ सकारात्मक मूल्ये आणि नंतर केवळ नकारात्मक.

पहिली पायरी.जर x \u003d 1, तर y \u003d 1 (आम्ही सूत्र वापरतो हे लक्षात ठेवा);

दुसरा टप्पा.

थोडक्यात, आम्ही खालील सारणी संकलित केली आहे:

आणि आता दोन टप्पे एकामध्ये एकत्र करूया, म्हणजे 24 आणि 26 या दोन आकृत्यांमधून आपण एक बनवू (चित्र 27). तेच आहे कार्य आलेखत्याला हायपरबोल म्हणतात.
रेखांकनानुसार हायपरबोलाच्या भौमितिक गुणधर्मांचे वर्णन करण्याचा प्रयत्न करूया.

पहिल्याने, आमच्या लक्षात आले की ही रेषा पॅराबोलासारखी सुंदर दिसते, कारण त्यात सममिती आहे. मूळ O मधून जाणारी आणि पहिल्या आणि तिसऱ्या समन्वय कोनात असलेली कोणतीही रेषा अतिपरवलयाला दोन बिंदूंवर छेदते जी या रेषेवर O बिंदूच्या विरुद्ध बाजूंनी असते, परंतु तिच्यापासून समान अंतरावर असते (चित्र 28). हे अंतर्निहित आहे, विशेषतः, बिंदू (1; 1) आणि (- 1; - 1),

आणि असेच. तर - हायपरबोलाच्या सममितीच्या केंद्राबद्दल. असेही म्हटले जाते की उत्पत्तीच्या संदर्भात हायपरबोला सममितीय आहे समन्वय.

दुसरे म्हणजे, आपण पाहतो की हायपरबोलामध्ये उत्पत्तीबद्दल सममितीय दोन भाग असतात; ह्यांना सामान्यतः हायपरबोलाच्या शाखा म्हणून संबोधले जाते.

तिसरे म्हणजे, आपल्या लक्षात येते की एका दिशेने हायपरबोलाची प्रत्येक शाखा अॅब्सिसा अक्षाच्या जवळ आणि जवळ येते आणि दुसऱ्या दिशेने - ऑर्डिनेट अक्षाच्या जवळ येते. अशा परिस्थितीत, संबंधित रेषांना एसिम्प्टोट्स म्हणतात.

म्हणून, फंक्शनचा आलेख, म्हणजे. हायपरबोलामध्ये दोन लक्षणे आहेत: x-अक्ष आणि y-अक्ष.

तुम्ही तयार केलेल्या आलेखाचे काळजीपूर्वक विश्लेषण केल्यास, तुम्हाला दुसरी भौमितीय गुणधर्म सापडतील जी मागील तीन प्रमाणे स्पष्ट नाही (गणितज्ञ सहसा असे म्हणतात: "अधिक सूक्ष्म गुणधर्म"). हायपरबोलामध्ये केवळ सममितीचे केंद्र नसते तर सममितीचे अक्ष देखील असतात.

खरंच, y = x (Fig. 29) सरळ रेषा बनवू. आता पहा: ठिपके च्या विरुद्ध बाजूस स्थित सरळ, परंतु त्यापासून समान अंतरावर. ते या रेषेबद्दल सममितीय आहेत. बिंदूंबद्दलही असेच म्हटले जाऊ शकते, जिथे अर्थातच, याचा अर्थ असा की रेषा y \u003d x हा हायपरबोलाच्या सममितीचा अक्ष आहे (तसेच y \u003d -x)

उदाहरण 1. फंक्शनची सर्वात लहान आणि सर्वात मोठी मूल्ये शोधा a) खंडावर; b) विभागावर [- 8, - 1].
ऊत्तराची, अ) फंक्शनचा आलेख बनवू आणि खंडातील x व्हेरिएबलच्या मूल्यांशी सुसंगत असलेला भाग निवडा (चित्र 30). आलेखाच्या निवडलेल्या भागासाठी, आम्हाला आढळते:

b) फंक्शनचा आलेख तयार करा आणि त्यातील x व्हेरिएबलच्या मूल्यांशी संबंधित असलेला भाग निवडा. विभाग[- 8, - 1] (चित्र 31). आलेखाच्या निवडलेल्या भागासाठी, आम्हाला आढळते:

तर, k= 1 असताना आपण केससाठी फंक्शन विचारात घेतले आहे. आता k ही 1 व्यतिरिक्त सकारात्मक संख्या असू द्या, उदाहरणार्थ k = 2.

चला एका फंक्शनचा विचार करू आणि या फंक्शनच्या व्हॅल्यूजचे टेबल बनवू:

बिंदू तयार करा (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1),

समन्वय विमानावर (चित्र 32). ते काही ओळींची रूपरेषा काढतात, ज्यामध्ये दोन शाखा असतात; आम्ही ते पार पाडू (चित्र 33). फंक्शनच्या आलेखाप्रमाणे, या रेषेला हायपरबोला म्हणतात.

आता प्रकरण विचारात घ्या जेव्हा के< 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции (здесь k = - 1).

मागील परिच्छेदामध्ये, आम्ही y \u003d -f (x) फंक्शनचा आलेख x-अक्षावरील y \u003d f (x) फंक्शनच्या आलेखाशी सममित असल्याचे नमूद केले आहे. विशेषतः, याचा अर्थ असा आहे की फंक्शन y \u003d - f (x) चा आलेख x अक्षाबद्दल y \u003d f (x) फंक्शनच्या आलेखाशी सममित आहे. विशेषतः, याचा अर्थ असा आहे वेळापत्रक, abscissa अक्षाच्या संदर्भात आलेखाशी सममितीय आहे (चित्र 34) अशा प्रकारे, आपल्याला एक हायपरबोला मिळतो, ज्याच्या फांद्या दुसऱ्या आणि चौथ्या समन्वय कोनात असतात.

सर्वसाधारणपणे, फंक्शनचा आलेख हा एक हायपरबोला आहे ज्याच्या शाखा k > 0 असल्यास पहिल्या आणि तिसऱ्या समन्वय कोनात आहेत आणि k असल्यास दुसऱ्या आणि चौथ्या समन्वय कोनात आहेत.< О (рис. 34). Точка (0; 0) - центр симметрии гиперболы, оси координат - асимптоты гиперболы.

असे म्हणणे सामान्य आहे की x आणि y या दोन परिमाणे व्यस्त प्रमाणात आहेत जर ते xy = k (जेथे k ही संख्या 0 व्यतिरिक्त दुसरी संख्या आहे), किंवा समतुल्य, . या कारणास्तव, फंक्शनला कधीकधी व्यस्त आनुपातिकता असे म्हटले जाते (फंक्शन y - kx च्या सादृश्याने, जे तुम्हाला कदाचित
लक्षात ठेवा, ज्याला थेट आनुपातिकता म्हणतात); k ही संख्या व्युत्क्रमाचा गुणांक आहे आनुपातिकता.

k > 0 साठी फंक्शन गुणधर्म

या फंक्शनच्या गुणधर्मांचे वर्णन करताना, आम्ही त्याच्या भौमितिक हायपरबोला मॉडेलवर अवलंबून राहू (चित्र 33 पहा).

2. x>0 साठी y > 0; y<0 при х<0.

3. अंतराल (-°°, 0) आणि (0, +°°) वर फंक्शन कमी होते.

5. फंक्शनची सर्वात लहान किंवा सर्वात मोठी मूल्ये नाहीत

k साठी कार्य गुणधर्म< 0
या फंक्शनच्या गुणधर्मांचे वर्णन करताना, आम्ही त्याच्या भौमितिकतेवर अवलंबून राहू मॉडेल- हायपरबोल (चित्र 34 पहा).

1. फंक्शनच्या डोमेनमध्ये x = 0 वगळता सर्व संख्या असतात.

2. y > 0 येथे x< 0; у < 0 при х > 0.

3. अंतराल (-oo, 0) आणि (0, +oo) वर फंक्शन वाढते.

4. फंक्शन खाली किंवा वरून मर्यादित नाही.

5. फंक्शनमध्ये सर्वात लहान किंवा सर्वात मोठी मूल्ये नाहीत.

6. फंक्शन (-oo, 0) आणि (0, +oo) मध्यांतरांवर सतत असते आणि x = 0 वर खंडित होते.

धडा सामग्री धडा सारांशसमर्थन फ्रेम धडा सादरीकरण प्रवेगक पद्धती परस्पर तंत्रज्ञान सराव कार्ये आणि व्यायाम आत्मपरीक्षण कार्यशाळा, प्रशिक्षण, प्रकरणे, शोध गृहपाठ चर्चा प्रश्न विद्यार्थ्यांचे वक्तृत्व प्रश्न उदाहरणे ऑडिओ, व्हिडिओ क्लिप आणि मल्टीमीडियाछायाचित्रे, चित्रे ग्राफिक्स, तक्ते, योजना विनोद, उपाख्यान, विनोद, कॉमिक्स बोधकथा, म्हणी, शब्दकोडे, कोट्स अॅड-ऑन अमूर्तजिज्ञासू क्रिब्स पाठ्यपुस्तकांसाठी लेख चिप्स मूलभूत आणि अतिरिक्त शब्दकोष इतर पाठ्यपुस्तके आणि धडे सुधारणेपाठ्यपुस्तकातील चुका सुधारणेअप्रचलित ज्ञानाच्या जागी नवीन ज्ञानासह धड्यातील नावीन्यपूर्ण घटकांच्या पाठ्यपुस्तकातील एक तुकडा अद्यतनित करणे फक्त शिक्षकांसाठी परिपूर्ण धडे कॅलेंडर योजनाएका वर्षासाठी मार्गदर्शक तत्त्वेचर्चा कार्यक्रम एकात्मिक धडे

नमस्कार, आर्गेमोनी विद्यापीठाचे प्रिय विद्यार्थी! फंक्शन्स आणि इंटिग्रल्सच्या जादूवरील आणखी एका व्याख्यानात मी तुमचे स्वागत करतो.

आज आपण हायपरबोलबद्दल बोलू. चला सोपी सुरुवात करूया. हायपरबोलाचा सर्वात सोपा प्रकार आहे:

हे फंक्शन, त्याच्या मानक स्वरूपातील सरळ रेषेच्या विरूद्ध, एकवचन आहे. आपल्याला माहित आहे की, अपूर्णांकाचा भाजक शून्यासारखा असू शकत नाही, कारण आपण शून्याने भागू शकत नाही.
x ≠ 0
यावरून आपण असा निष्कर्ष काढतो की व्याख्येचे डोमेन बिंदू 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞) वगळता संपूर्ण वास्तविक रेषा आहे.

जर x उजवीकडून 0 कडे झुकत असेल (असे लिहिलेले: x->0+), उदा. खूप, खूप लहान, परंतु तरीही सकारात्मक होते, नंतर y खूप, खूप मोठे धन (y->+∞) बनते.
जर x डावीकडून 0 कडे झुकत असेल (x->0-), उदा. निरपेक्ष मूल्यामध्ये खूप, खूप लहान होते, परंतु ऋण राहते, नंतर y देखील ऋण असेल, परंतु परिपूर्ण मूल्यामध्ये ते खूप मोठे असेल (y->-∞).
जर x हा अनंतता (x->+∞) कडे झुकत असेल, उदा. खूप मोठी धन संख्या बनते, नंतर y अधिकाधिक लहान धन संख्या होत जाईल, म्हणजे. 0 कडे कल राहील, सर्व वेळ सकारात्मक राहील (y->0+).
जर x वजा अनंताकडे झुकत असेल (x->-∞), उदा. एक मोठा मॉड्यूलो बनतो, परंतु एक ऋण संख्या, नंतर y देखील नेहमी ऋण संख्या असेल, परंतु एक लहान मॉड्यूल (y->0-).

Y, x प्रमाणे, मूल्य 0 घेऊ शकत नाही. ते फक्त शून्याकडे झुकते. म्हणून, मूल्यांचा संच परिभाषाच्या डोमेनप्रमाणेच आहे: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

या विचारांच्या आधारे, आपण योजनाबद्धपणे फंक्शनचा आलेख काढू शकतो

हे पाहिले जाऊ शकते की हायपरबोलामध्ये दोन भाग असतात: एक 1ल्या समन्वय कोपर्यात आहे, जिथे x आणि y मूल्ये सकारात्मक आहेत आणि दुसरा भाग तिसऱ्या समन्वय कोपर्यात आहे, जिथे x आणि y मूल्ये आहेत नकारात्मक आहेत.
जर आपण -∞ वरून +∞ वर गेलो, तर आपण पाहतो की आपले कार्य 0 ते -∞ कमी होते, नंतर एक तीव्र उडी येते (-∞ पासून +∞ पर्यंत) आणि फंक्शनची दुसरी शाखा सुरू होते, जी देखील कमी होते, पण +∞ ते ०. म्हणजेच हा हायपरबोला कमी होत आहे.

आपण फंक्शन थोडेसे बदलल्यास: वजा जादू वापरा,

(1")

मग फंक्शन चमत्कारिकपणे 1ल्या आणि 3र्‍या तिमाहीपासून 2र्‍या आणि 4थ्या तिमाहीत सरकते आणि वाढत जाते.

फंक्शन आहे हे लक्षात ठेवा वाढत आहे, x 1 आणि x 2 अशा दोन मूल्यांसाठी x 1 असल्यास<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
आणि फंक्शन असेल क्षीण होणे x च्या समान मूल्यांसाठी f(x 1) > f(x 2) असल्यास.

हायपरबोलाच्या फांद्या अक्षांजवळ येतात, परंतु त्या कधीही ओलांडत नाहीत. अशा रेषा, ज्या फंक्शनचा आलेख जवळ येतो, परंतु कधीही ओलांडत नाही, त्यांना म्हणतात लक्षणेहे कार्य.
आमच्या फंक्शन (1) साठी, asymptotes म्हणजे सरळ रेषा x=0 (OY अक्ष, अनुलंब असिम्प्टोट) आणि y=0 (OX अक्ष, क्षैतिज अॅसिम्प्टोट).

आणि आता सर्वात सोप्या हायपरबोलला थोडे क्लिष्ट करू आणि फंक्शनच्या आलेखाचे काय होते ते पाहू.

(2)

फक्त भाजकात स्थिर "a" जोडले. x ला एक संज्ञा म्हणून भाजकात काही संख्या जोडणे म्हणजे संपूर्ण "अतिपरवलयिक बांधकाम" (उभ्या असिम्प्टोटसह) एक ऋण संख्या असल्यास उजवीकडे (-a) पोझिशन्स आणि (-a) पोझिशन्स द्वारे हलवणे. a सकारात्मक संख्या असल्यास डावीकडे.

डाव्या आलेखावर, x (a.) मध्ये ऋण स्थिरांक जोडला जातो<0, значит, -a>0), ज्यामुळे चार्ट उजवीकडे सरकतो आणि उजव्या चार्टवर सकारात्मक स्थिरांक (a>0) असतो, ज्यामुळे चार्ट डावीकडे हलविला जातो.

आणि कोणत्या प्रकारचे जादू "हायपरबोलिक बांधकाम" वर किंवा खाली हस्तांतरण प्रभावित करू शकते? अपूर्णांकामध्ये स्थिर पद जोडणे.

(3)

आता आमचे संपूर्ण फंक्शन (दोन्ही शाखा आणि क्षैतिज अॅसिम्प्टोट) जर b ही सकारात्मक संख्या असेल तर b पोझिशन वर जाईल आणि b ही ऋण संख्या असेल तर b पोझिशन खाली जाईल.

कृपया लक्षात घ्या की अॅसिम्प्टोट्स हायपरबोलासह फिरतात, म्हणजे. हायपरबोला (त्याच्या दोन्ही फांद्या) आणि त्याच्या दोन्ही लक्षणांचा एक अविभाज्य बांधकाम म्हणून विचार करणे आवश्यक आहे जे एक डावीकडे, उजवीकडे, वर किंवा खाली हलते. जेव्हा तुम्ही फक्त संख्या जोडून संपूर्ण कार्य कोणत्याही दिशेने हलवू शकता तेव्हा ही एक अतिशय आनंददायी भावना आहे. जादू का नाही, ज्यावर तुम्ही अगदी सहजपणे प्रभुत्व मिळवू शकता आणि तुमच्या विवेकबुद्धीनुसार ते योग्य दिशेने निर्देशित करू शकता?
तसे, आपण अशा प्रकारे कोणत्याही फंक्शनची हालचाल नियंत्रित करू शकता. पुढील धड्यांमध्ये, आम्ही हे कौशल्य एकत्रित करू.

तुला विचारण्यापूर्वी गृहपाठ, मला या कार्याकडे तुमचे लक्ष वेधायचे आहे

(4)

हायपरबोलाची खालची शाखा 3र्‍या समन्वय कोनापासून दुस-या एका कोनाकडे वर जाते, जेथे y चे मूल्य धन आहे, उदा. ही शाखा OX अक्षावर सममितीने परावर्तित होते. आणि आता आपल्याला एक सम कार्य मिळेल.

"सम फंक्शन" चा अर्थ काय आहे? फंक्शन म्हणतात अगदी, अट पूर्ण झाल्यास: f(-x)=f(x)
फंक्शन म्हणतात विषम, अट पूर्ण झाल्यास: f(-x)=-f(x)
आमच्या बाबतीत

(5)

प्रत्येक सम फंक्शन OY अक्षाच्या संदर्भात सममितीय असते, उदा. आलेखाच्या रेखांकनासह चर्मपत्र OY अक्षावर दुमडले जाऊ शकते आणि आलेखाचे दोन भाग एकमेकांशी तंतोतंत जुळतील.

जसे आपण पाहू शकता, या फंक्शनमध्ये दोन लक्षणे देखील आहेत - क्षैतिज आणि अनुलंब. वर विचारात घेतलेल्या फंक्शन्सच्या विपरीत, हे फंक्शन त्याच्या एका भागावर वाढत आहे आणि दुसऱ्या भागावर कमी होत आहे.

आता स्थिरांक जोडून या आलेखाचे मार्गदर्शन करण्याचा प्रयत्न करूया.

(6)

लक्षात ठेवा की "x" ला एक संज्ञा म्हणून स्थिरांक जोडल्याने संपूर्ण आलेख (उभ्या असिम्प्टोटसह) क्षैतिजरित्या, क्षैतिज अॅसिम्प्टोट (या स्थिरांकाच्या चिन्हावर अवलंबून, डावीकडे किंवा उजवीकडे) हलतो.

(7)

आणि अपूर्णांकाला संज्ञा म्हणून स्थिरांक जोडल्याने आलेख वर किंवा खाली सरकतो. सर्व काही अगदी सोपे आहे!

आता या जादूचा स्वतः प्रयोग करून पहा.

गृहपाठ १.

प्रत्येकजण त्यांच्या प्रयोगांसाठी दोन कार्ये घेतो: (3) आणि (7).
a = तुमच्या LD चा पहिला अंक
b=तुमच्या LD चा दुसरा अंक
या फंक्शन्सच्या जादूकडे जाण्याचा प्रयत्न करा, मी धड्यात केल्याप्रमाणे, सर्वात सोप्या हायपरबोलपासून सुरू करून आणि हळूहळू तुमचे स्वतःचे स्थिरांक जोडत जा. फंक्शन (7) फंक्शन (3) च्या अंतिम स्वरूपावर आधारित आधीच मॉडेल केले जाऊ शकते. परिभाषेचे डोमेन, मूल्यांचा संच, लक्षणे निर्दिष्ट करा. फंक्शन्स कसे वागतात: कमी करा, वाढवा. सम विषम. सर्वसाधारणपणे, धड्यात जसे संशोधन होते तसे करण्याचा प्रयत्न करा. तुम्हाला आणखी काही सापडेल ज्याचा मी उल्लेख करायला विसरलो.

तसे, सर्वात सोप्या हायपरबोला (1) च्या दोन्ही शाखा समन्वय कोनांच्या दुभाजक 2 आणि 4 च्या संदर्भात सममितीय आहेत. आता कल्पना करा की हायपरबोला या अक्षाभोवती फिरू लागला. आम्हाला फक्त इतकी छान आकृती मिळते, जी वापरली जाऊ शकते.

कार्य २. ही आकृती कुठे वापरली जाऊ शकते? फंक्शन (4) साठी त्याच्या सममितीच्या अक्षांबद्दल रोटेशनची आकृती काढण्याचा प्रयत्न करा आणि अशी आकृती कुठे वापरली जाऊ शकते यावर चर्चा करा.

शेवटच्या धड्याच्या शेवटी एका बिंदूसह सरळ रेषा कशी मिळवली ते लक्षात ठेवा? आणि येथे शेवटचे आहे कार्य 3.
या कार्यासाठी आलेख तयार करा:

(8)

गुणांक a, b कार्य 1 प्रमाणेच आहेत.
c=तुमच्या LD चा 3रा अंक, किंवा तुमचा LD दोन अंकी असल्यास a-b.
थोडासा इशारा: प्रथम, संख्या बदलल्यानंतर प्राप्त केलेला अपूर्णांक सरलीकृत करणे आवश्यक आहे आणि नंतर आपल्याला नेहमीचा हायपरबोला मिळेल, जो आपल्याला तयार करणे आवश्यक आहे, परंतु शेवटी आपल्याला मूळ अभिव्यक्तीचे डोमेन विचारात घेणे आवश्यक आहे.