The әдістемелік материаланықтамалық мақсаттарға арналған және тақырыптардың кең ауқымын қамтиды. Мақалада негізгі элементарлық функциялардың графиктеріне шолу жасалады және ең маңызды мәселе қарастырылады - графикті қалай дұрыс және ТЕЗ құру керек. Негізгі элементар функциялардың графиктерін білмей-ақ жоғары математиканы оқу барысында қиын болады, сондықтан параболаның, гиперболаның, синустың, косинустың және т.б. графиктерінің қандай болатынын есте сақтау, кейбірін есте сақтау өте маңызды. функция мәндері. Сондай-ақ біз негізгі функциялардың кейбір қасиеттері туралы айтатын боламыз.

Мен толық және ғылыми тұрғыдан тиянақты материалдар ретінде көрінбеймін, ең алдымен практикаға баса назар аударылатын болады - бұл жоғары математиканың кез келген тақырыбында әр қадамда тура мағынада бетпе-бет келу керек. Манекендерге арналған диаграммалар? Солай деуге болады.

Оқырмандардың сұранысы бойынша басуға болатын мазмұн кестесі:

Сонымен қатар, тақырып бойынша ультра қысқаша реферат бар
– АЛТЫ бетті оқу арқылы диаграмманың 16 түрін меңгеріңіз!

Шынымды айтсам, алты, тіпті өзім де таң қалдым. Бұл реферат жақсартылған графиканы қамтиды және номиналды ақыға қол жетімді, демо нұсқасын көруге болады. Графиктер әрқашан қол астында болатындай етіп файлды басып шығару ыңғайлы. Жобаны қолдағаныңыз үшін рахмет!

Біз бірден бастаймыз:

Координат осьтерін қалай дұрыс салу керек?

Тәжірибеде тесттерді студенттер әрдайым дерлік жеке дәптерге, торға тізіп салады. Неліктен сізге құсбелгілер қажет? Өйткені, жұмыс, негізінен, А4 парақтарында жасалуы мүмкін. Ал тор тек сызбаларды сапалы және дәл құрастыру үшін қажет.

Функция графигінің кез келген сызбасы координаталық осьтерден басталады.

Сызбалар екі өлшемді және үш өлшемді.

Алдымен екі өлшемді жағдайды қарастырайық Декарттық координаталар жүйесі:

1) Координат осьтерін саламыз. ось деп аталады x осі , және ось у осі . Біз әрқашан оларды салуға тырысамыз ұқыпты және қисық емес. Көрсеткілер де Папа Карлоның сақалына ұқсамауы керек.

2) «х» және «у» бас әріптері бар осьтерге қол қоямыз. Осьтерге қол қоюды ұмытпаңыз.

3) Масштабты осьтер бойымен орнатыңыз: нөлді және екіні сызыңыз. Сызбаны жасау кезінде ең ыңғайлы және кең таралған масштаб: 1 бірлік = 2 ұяшық (сол жақта сурет) - мүмкін болса, оны ұстаныңыз. Дегенмен, анда-санда сызба дәптердің парағына сәйкес келмейтіні орын алады - содан кейін біз масштабты азайтамыз: 1 бірлік = 1 ұяшық (оң жақта сурет). Сирек, бірақ сызбаның масштабын одан да азайтуға (немесе ұлғайтуға) тура келеді

Пулеметтен сызба ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....Өйткені координаталық жазықтық Декарттың ескерткіші емес, ал студент көгершін емес. қойдық нөлжәне осьтер бойынша екі бірлік. Кейде орнынаБірліктер үшін басқа мәндерді «анықтауға» ыңғайлы, мысалы, абсцисса осінде «екі» және ордината осінде «үш» - ​​және бұл жүйе (0, 2 және 3) координаттар торын да бірегей түрде орнатады.

Сызбаны салудан бұрын сызбаның болжалды өлшемдерін бағалаған дұрыс.. Мәселен, мысалы, тапсырма төбелері , , , үшбұрышты салуды қажет етсе, онда танымал масштабтағы 1 бірлік = 2 ұяшық жұмыс істемейтіні анық. Неліктен? Нүктеге назар аударайық - мұнда сіз он бес сантиметрді төмен өлшеуіңіз керек, және, анық, сызба жазу кітапшасының парағына сыймайды (немесе әрең сыймайды). Сондықтан біз бірден кішірек масштабты 1 бірлік = 1 ұяшықты таңдаймыз.

Айтпақшы, шамамен сантиметр және ноутбук ұяшықтары. Дәптердің 30 ұяшығында 15 сантиметр болатыны рас па? Сызғышпен қызығушылық үшін дәптерге 15 сантиметрді өлшеңіз. КСРО-да бұл дұрыс болған шығар... Бір қызығы, егер сіз дәл осы сантиметрлерді көлденең және тігінен өлшесеңіз, нәтижелер (ұяшықтарда) басқаша болады! Дәлірек айтқанда, қазіргі дәптер дойбы емес, төртбұрышты. Бұл нонсенс сияқты көрінуі мүмкін, бірақ мұндай жағдайларда, мысалы, циркуль бар шеңберді салу өте ыңғайсыз. Шынын айту керек, мұндай сәттерде отандық автомобиль өнеркәсібін, құлаған ұшақтарды немесе жарылған электр станцияларын айтпағанда, өндірістегі хакерлік жұмысқа лагерьлерге жіберілген Сталин жолдастың дұрыстығын ойлай бастайсың.

Сапа туралы айтатын болсақ, немесе кеңсе тауарлары туралы қысқаша ұсыныс. Бүгінгі күнге дейін сатылымдағы дәптерлердің көпшілігі жаман сөз айтпай, толықтай гоблин болып табылады. Өйткені олар тек гельдік қаламдардан ғана емес, шарикті қаламдардан да ылғалданады! Қағазға үнемдеңіз. Тазалау үшін бақылау жұмыстарыМен Архангельск целлюлоза-қағаз комбинатының (18 парақ, тор) немесе Пятерочка дәптерлерін пайдалануды ұсынамын, бірақ ол қымбатырақ. Гельдік қаламды таңдаған жөн, тіпті ең арзан қытайлық гель толтыру қағазды жағып немесе жыртатын шарикті қаламнан әлдеқайда жақсы. Жалғыз «бәсекеге қабілетті» шарикті қаламМенің жадымда «Эрих Краузе». Ол анық, әдемі және тұрақты жазады - толық өзегімен немесе бос дерлік.

Қосымша: тікбұрышты координаталар жүйесін аналитикалық геометрия көзімен көру мақалада қарастырылған. Векторлардың сызықтық (бейне) тәуелділігі. Векторлық негіз, егжей-тегжейлі ақпаратКоординаталық тоқсандар туралы сабақтың екінші абзацынан табуға болады Сызықтық теңсіздіктер.

3D корпусы

Бұл жерде дерлік бірдей.

1) Координат осьтерін саламыз. Стандартты: осьті қолданыңыз – жоғары бағытталған, ось – оңға, ось – төмен солға бағытталған қатаң түрде 45 градус бұрышта.

2) Біз осьтерге қол қоямыз.

3) Масштабты осьтер бойымен орнатыңыз. Ось бойымен масштаб - басқа осьтер бойындағы шкаладан екі есе аз. Сондай-ақ, дұрыс сызбада ось бойымен стандартты емес «серифті» қолданғанымды ескеріңіз (бұл мүмкіндік жоғарыда айтылған). Менің көзқарасым бойынша, бұл дәлірек, жылдамырақ және эстетикалық жағымды - микроскоптың астындағы жасушаның ортасын іздеудің және блокты бастапқы нүктеге дейін «мүсіндеудің» қажеті жоқ.

3D сызбасын қайта жасағанда - масштабқа басымдық беріңіз
1 бірлік = 2 ұяшық (сол жақта сурет).

Бұл ережелердің барлығы не үшін? Ережелерді бұзу керек. Енді не істеймін. Мәселе мынада, мақаланың кейінгі сызбаларын мен Excel бағдарламасында жасаймын, ал координаталық осьтер көзқарас тұрғысынан дұрыс емес көрінеді. дұрыс дизайн. Мен барлық графиктерді қолмен сала алатынмын, бірақ оларды салу өте қорқынышты, өйткені Excel оларды дәлірек сызуды қаламайды.

Элементар функциялардың графиктері және негізгі қасиеттері

Сызықтық функция теңдеу арқылы берілген. Сызықтық функция графигі тікелей. Түзу сызықты салу үшін екі нүктені білу жеткілікті.

1-мысал

Функцияны сызу. Екі нүктені табайық. Ұпайлардың бірі ретінде нөлді таңдаған тиімді.

Егер болса, онда

Біз басқа тармақты аламыз, мысалы, 1.

Егер болса, онда

Тапсырмаларды дайындау кезінде нүктелердің координаталары әдетте кестеде жинақталады:

Ал мәндердің өзі ауызша немесе жобада, калькуляторда есептеледі.

Екі нүкте табылды, сызайық:

Сызбаны жасағанда біз әрқашан графикаға қол қоямыз.

Сызықтық функцияның ерекше жағдайларын еске түсіру артық болмайды:

Жазбаларды қалай қойғаныма назар аударыңыз, сызбаны оқу кезінде қолтаңбалар екі жақты болмауы керек. AT бұл жағдайсызықтардың қиылысу нүктесінің қасына немесе графиктер арасында төменгі оң жаққа қол қою өте жағымсыз болды.

1) () түріндегі сызықтық функция тура пропорционалдық деп аталады. Мысалға, . Тура пропорционалдық графигі әрқашан координат басынан өтеді. Осылайша, түзу сызықтың құрылысы жеңілдетілген - тек бір нүктені табу жеткілікті.

2) Пішіннің теңдеуі осіне параллель түзуді анықтайды, атап айтқанда осьтің өзі теңдеу арқылы беріледі. Функцияның графигі ешбір нүктені таппай бірден құрастырылады. Яғни, жазбаны келесідей түсіну керек: «y әрқашан -4-ке тең, кез келген х мәні үшін».

3) Пішіннің теңдеуі осіне параллель түзу сызықты анықтайды, атап айтқанда осьтің өзі теңдеу арқылы беріледі. Функцияның графигі де бірден құрастырылады. Жазбаны келесідей түсіну керек: «x әрқашан, кез келген у мәні үшін 1-ге тең».

Біреулер сұрайды, жарайды, 6-сынып неге есте қалды?! Дәл солай, мүмкін солай шығар, тек тәжірибе жылдарында мен немесе сияқты графикті құру тапсырмасына таңғалған ондаған жақсы студенттерді кездестірдім.

Тікелей сызық сызу - сызбаларды жасау кезінде ең жиі қолданылатын әрекет.

Түзу сызық аналитикалық геометрия курсында егжей-тегжейлі талқыланады, ал қалаушылар мақалаға сілтеме жасай алады. Жазықтықтағы түзудің теңдеуі.

Квадрат функция графигі, кубтық функция графигі, көпмүшелік графигі

Парабола. Квадраттық функцияның графигі () - парабола. Атақты жағдайды қарастырайық:

Функцияның кейбір қасиеттерін еске түсірейік.

Сонымен, теңдеуіміздің шешімі: - дәл осы нүктеде параболаның төбесі орналасқан. Неліктен бұлай екенін туынды туралы теориялық мақаладан және функцияның экстремумы туралы сабақтан білуге ​​болады. Осы арада біз «y» сәйкес мәнін есептейміз:

Сонымен, шың нүктеде

Енді біз параболаның симметриясын пайдаланып, басқа нүктелерді табамыз. Бұл функцияны атап өткен жөн – біркелкі емес, бірақ, соған қарамастан, ешкім параболаның симметриясын жойған жоқ.

Қалған ұпайларды қалай табу керек, менің ойымша, бұл қорытынды кестеден анық болады:

Бұл құрылыс алгоритмін бейнелі түрде «шаттл» немесе Анфиса Чеховамен «алға-артқа» принципі деп атауға болады.

Сурет салайық:

Қарастырылған графиктерден тағы бір пайдалы мүмкіндік еске түседі:

Квадраттық функция үшін () мыналар дұрыс:

Егер , онда параболаның тармақтары жоғары бағытталған.

Егер , онда параболаның тармақтары төмен бағытталған.

Қисық туралы терең білімді Гипербола және парабола сабағында алуға болады.

Текше парабола функциясы арқылы берілген. Міне, мектептен таныс сурет:

Функцияның негізгі қасиеттерін тізімдейміз

Функция графигі

Ол параболаның тармақтарының бірін білдіреді. Сурет салайық:

Функцияның негізгі қасиеттері:

Бұл жағдайда ось болып табылады тік асимптота гипербола графигі үшін.

Егер сызбаны құрастыру кезінде абайсызда графиктің асимптотпен қиылысуына жол берсеңіз, бұл ҮЛКЕН қателік болады.

Сондай-ақ бір жақты шектеулер, гипербола екенін айтыңыз жоғарыдан шектелмейдіжәне төменнен шектелмейді.

Функцияны шексіздікте зерттейік: , яғни ось бойымен солға (немесе оңға) шексіздікке жылжи бастасақ, онда «ойындар» жіңішке қадам болады. шексіз жақыннөлге жақындайды, сәйкесінше гиперболаның тармақтары шексіз жақыносіне жақындаңыз.

Сонымен ось көлденең асимптота функцияның графигі үшін, егер «x» плюс немесе минус шексіздікке ұмтылса.

Функция болып табылады тақ, бұл гиперболаның басына қатысты симметриялы екенін білдіреді. Бұл факт сызбадан анық көрінеді, сонымен қатар оны аналитикалық жолмен оңай тексеруге болады: .

() түріндегі функцияның графигі гиперболаның екі тармағын көрсетеді.

Егер , онда гипербола бірінші және үшінші координаталар квадранттарында орналасады(жоғарыдағы суретті қараңыз).

Егер , онда гипербола екінші және төртінші координаталық ширектерде орналасқан.

Гиперболаның тұрғылықты жерінің көрсетілген заңдылығын графиктердің геометриялық түрлендірулері тұрғысынан талдау қиын емес.

3-мысал

Гиперболаның оң тармағын сал

Біз нүктелік құрылыс әдісін қолданамыз, ал мәндерді толығымен бөлетін етіп таңдау тиімді:

Сурет салайық:

Гиперболаның сол жақ тармағын салу қиын болмайды, мұнда функцияның тақтығы ғана көмектеседі. Дөрекі айтқанда, нүктелік құрылыс кестесінде ойша әр санға минус қосып, сәйкес нүктелерді қойып, екінші тармақты сызыңыз.

Қарастырылған түзу туралы толық геометриялық ақпаратты Гипербола және парабола мақаласынан табуға болады.

Көрсеткіштік функцияның графигі

Бұл тармақта мен бірден көрсеткіштік функцияны қарастырамын, өйткені жоғары математиканың есептерінде 95% жағдайда бұл көрсеткіш орын алады.

Естеріңізге саламын - бұл иррационал сан: , бұл графикті құру кезінде қажет болады, мен оны рәсімсіз саламын. Үш ұпай жеткілікті болуы мүмкін:

Функцияның графигін әзірге жалғыз қалдырайық, ол туралы кейінірек.

Функцияның негізгі қасиеттері:

Негізінде функциялардың графиктері бірдей көрінеді және т.б.

Айта кету керек, екінші жағдай тәжірибеде сирек кездеседі, бірақ ол орын алады, сондықтан мен оны осы мақалаға қосуды қажет деп таптым.

Логарифмдік функцияның графигі

Натурал логарифмі бар функцияны қарастырайық .
Сызық сызбасын жасайық:

Логарифмнің не екенін ұмытып қалсаңыз, мектеп оқулықтарын қараңыз.

Функцияның негізгі қасиеттері:

Домен:

Мәндер ауқымы: .

Функция жоғарыдан шектелмейді: , баяу болса да, бірақ логарифмнің тармағы шексіздікке дейін барады.
Оң жақта нөлге жақын функцияның әрекетін қарастырайық: . Сонымен ось тік асимптота Оң жақта нөлге ұмтылатын «x» функциясының графигі үшін.

Логарифмнің типтік мәнін білуді және есте сақтауды ұмытпаңыз: .

Негізінде логарифмнің негізіндегі графигі бірдей көрінеді: , , (10 негізіне ондық логарифм) т.б. Сонымен қатар, негіз неғұрлым үлкен болса, диаграмма соғұрлым тегіс болады.

Біз бұл істі қарастырмаймыз, бұл мен соңғы рет қашан мұндай негізбен графикті салғаным есімде жоқ. Иә, және логарифм жоғары математика есептерінің өте сирек қонағы болып көрінеді.

Параграфты қорытындылай келе тағы бір фактіні айтайын: Көрсеткіштік функция және логарифмдік функцияекеуі өзара кері функциялар . Егер сіз логарифм графигіне мұқият қарасаңыз, бұл бірдей дәреже екенін көре аласыз, жай ғана ол сәл басқаша орналасқан.

Тригонометриялық функциялардың графиктері

Тригонометриялық азап мектепте қалай басталады? Дұрыс. Синустардан

Функцияның графигін салайық

Бұл сызық деп аталады синусоид.

Естеріңізге сала кетейін, «пи» иррационал сан: және тригонометрияда ол көзді таң қалдырады.

Функцияның негізгі қасиеттері:

Бұл функция мерзімді басылымкезеңмен. Бұл нені білдіреді? Кесуді қарастырайық. Оның сол жағында және оң жағында графиктің дәл сол бөлігі шексіз қайталанады.

Домен: , яғни кез келген «x» мәні үшін синус мәні бар.

Мәндер ауқымы: . Функция болып табылады шектелген: , яғни барлық «ойындар» сегментте қатаң түрде отырады.
Бұл болмайды: немесе, дәлірек айтқанда, болады, бірақ бұл теңдеулердің шешімі жоқ.

Функция жалпы түрде y = немесе f(x) = түрінде жазылады

у және х кері пропорционал шамалар, яғни. біреуі артқанда, екіншісі азаяды (сандарды функцияға қосу арқылы тексеріңіз)

x 2 әрқашан оң мәндерді шығаратын алдыңғы функциядан айырмашылығы, бұл жерде - = деп айта алмаймыз, өйткені олар мүлдем қарама-қарсы сандар болар еді. Мұндай функциялар деп аталады тақ.

Мысалы, у = графигін тұрғызайық

Әрине, x нөлге тең бола алмайды (x ≠ 0)

филиалдарыгиперболалар координаталардың 1-ші және 3-ші бөліктерінде жатыр.

Олар абсциссалар мен ордината осьтеріне шексіз жақындай алады және «x» миллиардқа тең болса да оларға ешқашан жете алмайды. Гипербола шексіз жақын болады, бірақ бәрібір осьтермен қиылыспайды (математикалық қайғы осындай).

y = - үшін графигін тұрғызайық.

Ал енді гиперболаның тармақтары координаталық жазықтықтың екінші және 4-ші ширектерінде орналасқан.

Нәтижесінде барлық тармақтар арасында толық симметрияны байқауға болады.

Егер функцияның АРГУМЕНТіне тұрақты мән қосылса, онда графиктің ось бойымен жылжуы (параллель трансляциясы) орын алады. Функция мен оң санды қарастырайық:

Ережелер:
1) функция графигін құру үшін графикті жылжыту керек ЖОЛДАбірліктерге арналған осьтер Солға;
2) функция графигін құру үшін графикті жылжыту керек ЖОЛДАбірліктерге арналған осьтер дұрыс.

6-мысал

Функцияның графигін салу

Біз параболаны алып, оны х осінің бойымен 1 бірлікке жылжытамыз дұрыс:

«Сәйкестендіру шамы» - бұл мән, бұл жерде параболаның жоғарғы жағы орналасқан.

Енді, менің ойымша, графикті салу ешкімге қиындық туғызбайды (сабақтың басындағы демонстрациялық мысал) - текше параболаны 2 бірлік солға жылжыту керек.

Міне, тағы бір типтік жағдай:

7-мысал

Функцияның графигін салу

Гиперболаны (қара түсті) ось бойымен 2 бірлікке жылжытайық Солға:

Гиперболаны жылжыту қосылмаған мәнді «береді». функция ауқымы. AT бұл мысал, және түзу теңдеуіжинақтар тік асимптота(қызыл нүктелі сызық) функцияның графигі (қызыл тұтас сызық). Осылайша, параллель трансляция кезінде графиктің асимптотасы да жылжиды (бұл анық).

Тригонометриялық функцияларға қайта оралайық:

8-мысал

Функцияның графигін салу

Синус графигі (қара түс) ось бойымен ось бойымен жылжытылады Солға:

Алынған қызыл графикті толығырақ қарастырайық .... Бұл дәл косинус сюжеті! Шын мәнінде, біз геометриялық иллюстрация алдық азайту формулалары, және сіздің алдыңызда, мүмкін, осы тригонометриялық функцияларды байланыстыратын ең «әйгілі» формула. Функцияның графигі синусоидты ось бойымен бірліктерге солға жылжыту арқылы алынады (сабақта айтылғандай Элементар функциялардың графиктері мен қасиеттері). Сол сияқты, кез келген басқасының жарамдылығын тексеруге болады азайту формулалары.

Аргумент сызықтық функция болған кезде композиция ережесін қарастырайық: , ал параметр "ka" тең емеснөл немесе бір, параметр «be» - тең емеснөл. Мұндай функцияның графигін қалай салуға болады? Мектеп курсынан біз көбейтудің қосуға қарағанда басым екенін білеміз, сондықтан алдымен графикті мәнге байланысты қысып/созып/көрсететін сияқтымыз, содан кейін оны бірліктерге ауыстырамыз. Бірақ бұл жерде қате бар және дұрыс алгоритм келесідей:

Функция аргументі пішінде ұсынылуы және келесі түрлендірулерді ретімен орындауы керек:

1) Функцияның графигі ординаталардың осіне (осінен) қысылған (немесе созылған): (егер , болса, онда график осіне қатысты симметриялы түрде қосымша көрсетілуі керек).

2) Алынған функцияның графигі х осі бойынша солға (немесе оңға) жылжытылады үстінде (!!!) бірлік, нәтижесінде қалаған график құрастырылады.

9-мысал

Функцияның графигін салу

Функцияны пішінде ұсынып, келесі түрлендірулерді орындаймыз: синусоид (қара түс):

1) қысу осінеекі рет: (көк түсті);
2) ось бойымен қозғалу үстінде (!!!) Солға: (қызыл түс):

Мысал қарапайым болып көрінеді, бірақ параллель тасымалдаумен ұшу желге қарағанда оңайырақ. График бойынша емес, бойынша жылжиды.

Біз сабақтың басындағы функциялармен жұмысты жалғастырамыз:

10-мысал

Функцияның графигін салу

функциясын ретінде көрсетейік. Бұл жағдайда: Құрылыс үш кезеңмен жүзеге асырылады. Натурал логарифм графигі:

1) қысу осіне 2 рет: ;
2) симметриялы түрде көрсетіңізосіне қатысты: ;
3) ось бойымен қозғалу үстінде (!!!) Оңға: :

Өзін-өзі бақылау үшін, мысалы, соңғы функцияға X мәндерінің жұбын ауыстырып, алынған графикті тексеруге болады.

Қарастырылған абзацтарда оқиғалар «көлденеңінен» өтті - аккордеон ойнайды, аяқтар солға / оңға билейді. Бірақ ұқсас түрлендірулер «тік» бағытта - ось бойымен жүреді. Негізгі айырмашылығы олар АРГУМЕНТпен емес, ФУНКЦИЯНЫҢ ӨЗІМЕН байланысты.

Графикті y осі бойымен созу (сығу).
Графиктің абсцисса осіне қатысты симметриялы көрінісі

Мақаланың екінші бөлігінің құрылымы өте ұқсас болады.

1) Егер ФУНКЦИЯ санға көбейтілсе, онда оның графигін у осі бойымен созу.

ереже ось бойымен созыңызуақытында.

2) Егер ФУНКЦИЯ санға көбейтілсе, онда оның графигін у осі бойымен қысу.

ереже: функцияның графигін салу үшін , мұндағы , функцияның графигі қажет ось бойымен кішірейтіңізуақытында.

Қай функцияны қайталап көремін =)

11-мысал

Функция графиктерін құру.

Біз синусоидты тәжден / өкшеден аламыз:

Және тартуоның ось бойымен 2 рет:

Функцияның периоды өзгерген жоқ және , бірақ мәндері (нөлден басқасы) өсті модульекі есе, бұл логикалық - ақыр соңында, функция 2-ге көбейтіледі және оның мәндерінің ауқымы екі еселенеді: .

Қазір компресссинусоид ось бойымен 2 рет:

Сол сияқты, период өзгерген жоқ, бірақ функцияның диапазоны екі рет «тегіс» болды: .

Жоқ, менде синусоидқа ешқандай бейімділік жоқ, мен жай ғана функция графиктерінің (No1,3 мысалдары) жаңадан құрастырылған аналогтардан қалай ерекшеленетінін көрсеткім келді. Осы қарапайым жағдайларды талдап, жақсырақ түсіну үшін қайталап көріңіз. Тіпті графикалық түрлендірулер туралы ең аз білім сізге жоғары математиканың басқа есептерін шешуде баға жетпес көмек береді! . жағдайлар

Функция коэффициенті k k = 0-ден басқа кез келген мәнді қабылдай алады. Алдымен k = 1 болған жағдайды қарастырайық; Сонымен, алдымен функция туралы сөйлесеміз.

Функцияның графигін құру үшін біз алдыңғы абзацтағыдай әрекет жасаймыз: біз x тәуелсіз айнымалысына бірнеше нақты мән береміз және тәуелдінің сәйкес мәндерін есептейміз (формула арқылы) айнымалыж. Рас, бұл жолы аргументке алдымен тек оң мәндерді, содан кейін тек теріс мәндерді бере отырып, есептеулер мен конструкцияларды біртіндеп жүргізу ыңғайлы.

Бірінші кезең.Егер x \u003d 1 болса, онда y \u003d 1 (формуланы қолданатынымызды еске түсіріңіз);

Екінші кезең.

Қысқасы, біз келесі кестені құрастырдық:

Ал енді екі кезеңді бір етіп біріктірейік, яғни 24 және 26 екі фигурадан біреуін жасаймыз (27-сурет). Бұл солай функция графигіол гипербола деп аталады.
Гиперболаның геометриялық қасиеттерін сызба бойынша сипаттап көрейік.

Біріншіден, бұл сызық парабола сияқты әдемі көрінетінін байқаймыз, өйткені оның симметриясы бар. О басы арқылы өтетін және бірінші және үшінші координаталық бұрыштарда орналасқан кез келген түзу гиперболаны осы түзуде О нүктесінің қарама-қарсы жағында, бірақ одан бірдей қашықтықта жатқан екі нүктеде қиып өтеді (28-сурет). Бұл, атап айтқанда, (1; 1) және (- 1; - 1) тармақтарына тән,

Және т.б.Сонымен - Гиперболаның симметрия центрі туралы. Гиперболаның басына қатысты симметриялы екендігі де айтылады координаттар.

Екіншіден, гиперболаның басына қатысты симметриялы екі бөліктен тұратынын көреміз; бұлар әдетте гиперболаның тармақтары деп аталады.

Үшіншіден, гиперболаның әрбір тармағы бір бағытта абсцисса осіне, ал екінші бағытта ордината осіне жақындап келе жатқанын байқаймыз. Мұндай жағдайларда сәйкес сызықтар асимптоталар деп аталады.

Демек, функцияның графигі, яғни. гиперболаның екі асимптотасы бар: x осі және у осі.

Егер сіз құрастырылған графикті мұқият талдасаңыз, алдыңғы үшеуі сияқты айқын емес басқа геометриялық қасиет таба аласыз (математиктер әдетте бұл туралы айтады: «нәзік қасиет»). Гиперболаның симметрия центрі ғана емес, симметрия осьтері де болады.

Шынында да, y = x түзуін салайық (29-сурет). Енді қараңыз: нүктелер қарама-қарсы жағында орналасқан Түзу, бірақ одан бірдей қашықтықта. Олар осы сызыққа қатысты симметриялы. Әрине, бұл y \u003d x сызығы гиперболаның симметрия осі (сонымен қатар y \u003d -x) болатын нүктелер туралы да солай айтуға болады.

Мысал 1. функциясының ең кіші және ең үлкен мәндерін табыңыз a) кесіндісінде ; б) [- 8, - 1] кесіндісінде.
Шешуі, а) Функцияның графигін тұрғызайық және оның кесіндіден х айнымалысының мәндеріне сәйкес келетін бөлігін таңдап алайық (30-сурет). Графиктің таңдалған бөлігі үшін біз мынаны табамыз:

б) Функцияның графигін тұрғызайық және оның х айнымалысының мәндеріне сәйкес келетін бөлігін таңдайық сегмент[- 8, - 1] (Cурет 31). Графиктің таңдалған бөлігі үшін біз мынаны табамыз:

Сонымен, біз k= 1 жағдайындағы функцияны қарастырдық. Енді k 1-ден басқа оң сан болсын, мысалы k = 2.

Функцияны қарастырайық және осы функцияның мәндерінің кестесін құрайық:

(1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1) нүктелерін салыңыз.

координаталық жазықтықта (Cурет 32). Олар екі тармақтан тұратын қандай да бір сызықты белгілейді; біз оны орындаймыз (Cурет 33). Функцияның графигі сияқты бұл сызық гипербола деп аталады.

Енді k болған жағдайды қарастырайық< 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции (здесь k = - 1).

Алдыңғы абзацта y \u003d -f (x) функциясының графигі y \u003d f (x) функциясының х осіне қатысты графигіне симметриялы екенін атап өттік. Атап айтқанда, бұл y \u003d - f (x) функциясының графигі х осіне қатысты y \u003d f (x) функциясының графигіне симметриялы екенін білдіреді. Атап айтқанда, бұл дегеніміз кесте, абсцисса осіне қатысты графикке симметриялы (34-сурет) Осылайша, тармақтары екінші және төртінші координаталық бұрыштарда орналасқан гиперболаны аламыз.

Жалпы алғанда, функцияның графигі гипербола, оның тармақтары k > 0 болса, бірінші және үшінші координаталық бұрыштарда (33-сурет), ал k болса, екінші және төртінші координаталық бұрыштарда орналасқан.< О (рис. 34). Точка (0; 0) - центр симметрии гиперболы, оси координат - асимптоты гиперболы.

Екі x және у шамалары, егер олар xy = k (мұндағы k - 0-ден басқа сан) қатынасы бойынша байланысқан болса, кері пропорционал деп айту әдеттегідей. Осы себепті функцияны кейде кері пропорционалдық деп те атайды (y – kx функциясына ұқсастық бойынша, ол, мүмкін,
есте сақтаңыз, тура пропорционалдық деп аталады); k саны кері коэффициент болып табылады пропорционалдылық.

k > 0 үшін функция қасиеттері

Бұл функцияның қасиеттерін сипаттай отырып, біз оның геометриялық гипербола моделіне сүйенеміз (33-суретті қараңыз).

2. x>0 үшін y > 0;y<0 при х<0.

3. Функция (-°°, 0) және (0, +°°) аралықтарында азаяды.

5. Функцияның ең кіші де, ең үлкен мәндері де емес

k үшін функция қасиеттері< 0
Бұл функцияның қасиеттерін сипаттай отырып, біз оның геометриялық мәніне сүйенеміз үлгі- гипербола (34-суретті қараңыз).

1. Функцияның анықталу облысы х = 0-ден басқа барлық сандардан тұрады.

2. x кезінде y > 0< 0; у < 0 при х > 0.

3. Функция (-oo, 0) және (0, +oo) аралықтарында артады.

4. Функция төменнен немесе жоғарыдан шектелмейді.

5. Функцияның ең кіші де, ең үлкен мәндері де болмайды.

6. Функция (-oo, 0) және (0, +oo) аралықтарында үздіксіз және x = 0 кезінде үзіліске ұшырайды.

Сабақтың мазмұны сабақты қорытындылаутірек кадрлық сабақ презентация жеделдету әдістері интерактивті технологиялар Жаттығу тапсырмалар мен жаттығулар өзін-өзі тексеру практикумдар, тренингтер, кейстер, квесттер үй тапсырмасын талқылау сұрақтары студенттердің риторикалық сұрақтары Иллюстрациялар аудио, бейнеклиптер және мультимедиафотосуреттер, суреттер графикасы, кестелер, әзіл-оспақ, анекдоттар, әзілдер, комикстер, нақыл сөздер, сөзжұмбақ, дәйексөздер Қосымшалар рефераттармақалалар, ізденімпаз бесікке арналған фишкалар оқулықтар негізгі және қосымша терминдер сөздігі басқа Оқулықтар мен сабақтарды жетілдіруоқулықтағы қателерді түзетуоқулықтағы үзіндіні жаңарту сабақтағы инновация элементтері ескірген білімді жаңасымен алмастыру Тек мұғалімдерге арналған тамаша сабақтар күнтізбелік жоспарбір жылға нұсқауларталқылау бағдарламалары Біріктірілген сабақтар

Сәлеметсіздер ме, құрметті Аргемони университетінің студенттері! Сіздерді функциялар мен интегралдар сиқыры туралы тағы бір дәріске қош келдіңіздер.

Бүгін біз гипербола туралы айтатын боламыз. Қарапайым бастайық. Гиперболаның қарапайым түрі:

Бұл функция өзінің стандартты пішіндеріндегі түзуден айырмашылығы ерекшелікке ие. Біз білетіндей, бөлшектің бөлгіші нөлге тең бола алмайды, өйткені нөлге бөлуге болмайды.
x ≠ 0
Осы жерден анықтау облысы 0 нүктесінен басқа барлық нақты түзу болып табылады деген қорытындыға келеміз: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Егер х оң жақтан 0-ге ұмтылса (осылай жазылады: x->0+), яғни. өте, өте кішкентай, бірақ бәрібір оң болады, содан кейін у өте, өте үлкен оң болады (y->+∞).
Егер х сол жақтан 0-ге ұмтылса (x->0-), яғни. абсолютті мәнде өте, өте аз болады, бірақ теріс болып қалады, онда у да теріс болады, бірақ абсолютті мәнде ол өте үлкен болады (y->-∞).
Егер x плюс шексіздікке бейім болса (x->+∞), яғни. өте үлкен оң санға айналады, содан кейін у барған сайын кіші оң санға айналады, яғни. 0-ге бейім болады, барлық уақытта оң болып қалады (y->0+).
Егер х минус шексіздікке ұмтылса (x->-∞), яғни. үлкен модульге айналады, бірақ теріс сан, онда y әрқашан теріс сан болады, бірақ шағын модуль (y->0-).

Y, x сияқты, 0 мәнін қабылдай алмайды. Ол тек нөлге ұмтылады. Демек, мәндер жиыны анықтау облысымен бірдей: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Осы ойларға сүйене отырып, функцияның графигін схемалық түрде сала аламыз

Гипербола екі бөліктен тұратынын көруге болады: біреуі 1-ші координаталық бұрышта, мұнда x және y мәндері оң, ал екінші бөлігі x және y мәндері болатын үшінші координаталық бұрышта орналасқан. теріс.
Егер -∞-тен +∞-ке ауыссақ, онда функциямыз 0-ден -∞-ке дейін төмендейтінін көреміз, онда күрт секіру (-∞-тан +∞-ке) болады және функцияның екінші тармағы басталады, ол да төмендейді, бірақ +∞-ден 0-ге дейін. Яғни, бұл гипербола азаяды.

Функцияны сәл ғана өзгертсеңіз: минус сиқырды пайдаланыңыз,

(1")

Сонда функция ғажайып түрде 1-ші және 3-ші ширектерден 2-ші және 4-ші ширектерге ауысып, ұлғаяды.

Функция екенін еске түсірейік ұлғайту, егер x 1 және x 2 екі мән үшін x 1 болса<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
Және функция болады азаюыегер x-тің бірдей мәндері үшін f(x 1) > f(x 2) болса.

Гиперболаның тармақтары осьтерге жақындайды, бірақ оларды ешқашан кесіп өтпейді. Функция графигі жақындайтын, бірақ ешқашан қиылыспайтын сызықтар деп аталады асимптотбұл функция.
Біздің (1) функциямыз үшін асимптоталар x=0 (OY осі, тік асимптота) және y=0 (OX осі, көлденең асимптота) түзулері болып табылады.

Ал енді ең қарапайым гиперболаны аздап күрделендіріп, функция графигі не болатынын көрейік.

(2)

Жай ғана бөлгішке тұрақты «а» қосылды. Бөлгішке кейбір санды термин ретінде x-ке қосу бүкіл «гиперболалық құрылысты» (тік асимптотамен бірге) оңға (-a) позицияларға, егер а теріс сан болса, (-а) позицияларына жылжытуды білдіреді. сол жақ, егер а оң сан болса.

Сол жақтағы графикте x-ке теріс тұрақты мән қосылады (a<0, значит, -a>0), бұл диаграмманың оңға жылжуын тудырады, ал оң жақ диаграммада оң константа (a>0) бар, соның арқасында диаграмма солға жылжытылады.

Ал «гиперболалық құрылыстың» жоғары немесе төмен ауысуына қандай сиқыр әсер етуі мүмкін? Бөлшекке тұрақты мүшені қосу.

(3)

Енді біздің бүкіл функциямыз (егер тармақтар да, көлденең асимптота да) b позициясына жоғары, егер b оң сан болса, b позициясына төмендейді, егер b теріс сан болса.

Назар аударыңыз, асимптоталар гиперболамен бірге қозғалады, яғни. гиперболаны (оның екі тармағын да) және оның екі асимптотасын міндетті түрде бір солға, оңға, жоғары немесе төмен жылжытатын бөлінбейтін конструкция ретінде қарастыру керек. Санды қосу арқылы бүкіл функцияны кез келген бағытта жылжытуға болатын кезде бұл өте жағымды сезім. Неліктен сіз өте оңай меңгере алатын және оны өз қалауыңыз бойынша дұрыс бағытта бағыттай алатын сиқыр емес?
Айтпақшы, осылайша кез келген функцияның қозғалысын басқаруға болады. Келесі сабақтарда біз бұл дағдыны бекітеміз.

Сізден сұрамас бұрын үй жұмысы, Мен сіздің назарыңызды осы функцияға аударғым келеді

(4)

Гиперболаның төменгі тармағы 3-ші координаталық бұрыштан екіншіге, у мәні оң болатын бұрышқа жоғары қарай жылжиды, яғни. бұл тармақ OX осіне қатысты симметриялы түрде көрсетіледі. Енді біз жұп функцияны аламыз.

«Жұп функция» нені білдіреді? Функция шақырылады тіпті, шарт орындалса: f(-x)=f(x)
Функция шақырылады тақ, шарт орындалса: f(-x)=-f(x)
Біздің жағдайда

(5)

Әрбір жұп функция OY осіне қатысты симметриялы, яғни. графиктің сызбасы бар пергамент OY осі бойымен бүктелуі мүмкін және графиктің екі бөлігі бір-біріне дәл сәйкес келеді.

Көріп отырғаныңыздай, бұл функцияның екі асимптотасы бар - көлденең және тік. Жоғарыда қарастырылған функциялардан айырмашылығы, бұл функция оның бір бөлігінде өседі, ал екіншісінде азаяды.

Енді осы графикті тұрақты мәндерді қосу арқылы бағыттауға тырысайық.

(6)

Тұрақтыны "x"-ке термин ретінде қосу бүкіл графиктің (тік асимптотамен бірге) көлденең, көлденең асимптота бойымен (осы тұрақтының белгісіне байланысты солға немесе оңға) жылжуына әкелетінін еске түсірейік.

(7)

Ал бөлшекке мүше ретінде b тұрақтысын қосу графиктің жоғары немесе төмен жылжуын тудырады. Барлығы өте қарапайым!

Енді осы сиқырмен тәжірибе жасап көріңіз.

Үйге тапсырма 1.

Әркім өз тәжірибелері үшін екі функцияны қабылдайды: (3) және (7).
a = LD бірінші саны
b= LD-нің екінші саны
Сабақта жасағанымдай қарапайым гиперболадан бастап, бірте-бірте өзіңіздің тұрақты мәндеріңізді қосып, осы функциялардың сиқырына жетуге тырысыңыз. Функцияны (7) қазірдің өзінде (3) функцияның соңғы формасы негізінде модельдеуге болады. Анықтау домендерін, мәндер жиынын, асимптоталарды көрсетіңіз. Функциялардың әрекеті: кему, ұлғайту. Тіпті біртүрлі. Жалпы, сабақта қандай зерттеу жүргізілсе, дәл солай зерттеуге тырысыңыз. Сіз мен айтуды ұмытып кеткен тағы бір нәрсені таба аласыз.

Айтпақшы, ең қарапайым гиперболаның (1) екі тармағы да координаталық бұрыштардың 2 және 4 биссектрисаларына қатысты симметриялы. Енді гипербола осы осьтің айналасында айнала бастады деп елестетіңіз. Біз дәл осындай жақсы фигураны аламыз, оны қолдануға болады.

2-тапсырма. Бұл фигураны қайда қолдануға болады? (4) функциясына оның симметрия осіне қатысты айналу фигурасын салып көріңіз және мұндай фигураны қайда қолдануға болатынын талқылаңыз.

Өткен сабақтың соңында тесілген нүктесі бар түзу сызықты қалай алғанымыз есіңізде ме? Міне, соңғысы тапсырма 3.
Осы функцияның графигін құрыңыз:

(8)

a, b коэффициенттері 1-тапсырмадағыдай.
c = LD-нің 3-ші цифры немесе LD екі сан болса, a-b.
Кішкене түсініктеме: алдымен сандарды ауыстырғаннан кейін алынған бөлшек жеңілдетілуі керек, содан кейін сіз құрастыруыңыз керек әдеттегі гиперболаны аласыз, бірақ соңында бастапқы өрнектің облысын ескеру қажет.