Сенімділік интервалын есептеу сәйкес параметрдің орташа қателігіне негізделген. Сенім аралығы ықтималдықпен (1-а) болжанатын параметрдің шын мәні қандай шектерде екенін көрсетеді. Мұндағы а маңыздылық деңгейі, (1-а) сенімділік деңгейі деп те аталады.
Бірінші тарауда біз, мысалы, арифметикалық орта үшін шынайы жалпы орташа мән уақыттың шамамен 95% орташа мәннің 2 орташа қатесі ішінде болатынын көрсеттік. Осылайша, орташа мән үшін 95% сенімділік интервалының шекаралары таңдамалы орташадан орташа мәннің орташа қателігінен екі есе көп болады, яғни. ортаның орташа қателігін сенімділік деңгейіне байланысты қандай да бір факторға көбейтеміз. Орташа және орташа мәндер айырмасы үшін Студент коэффициенті (Студенттік критерийдің критикалық мәні), үлестердің үлесі мен айырмашылығы үшін z критерийінің критикалық мәні алынады. Коэффициент пен орташа қатенің көбейтіндісін осы параметрдің шекті қатесі деп атауға болады, яғни. оны бағалау кезінде алатын максималды.
Сенім аралығы арифметикалық орта : .
Мұнда орташа үлгі;
Орташа арифметикалық шаманың орташа қателігі;
s-үлгінің стандартты ауытқуы;
n
f = n-1 (Студенттік коэффициент).
Сенім аралығы арифметикалық ортаның айырмашылығы :
Мұнда, іріктеу құралдары арасындағы айырмашылық болып табылады;
- арифметикалық орталар айырмасының орташа қателігі;
s 1 , s 2 -үлгілік стандартты ауытқулар;
n1,n2
Студент критерийінің берілген мәнділік деңгейінің а және еркіндік дәрежесінің санының критикалық мәні f=n1 +n2-2 (Студенттік коэффициент).
Сенім аралығы акциялар :
.
Мұндағы d – үлгі үлесі;
– орташа үлестік қате;
n– үлгі мөлшері (топ мөлшері);
Сенім аралығы айырмашылықтарды бөліседі :
Мұнда, үлгі акциялар арасындағы айырмашылық;
арифметикалық орталар арасындағы айырманың орташа қатесі болып табылады;
n1,n2– үлгі өлшемдері (топтар саны);
Берілген маңыздылық деңгейіндегі z критерийінің критикалық мәні a ( , , ).
Көрсеткіштер айырмашылығына сенімділік интервалдарын есептеу арқылы біз, біріншіден, оның нүктелік бағасын ғана емес, әсердің мүмкін болатын мәндерін тікелей көреміз. Екіншіден, біз нөлдік гипотезаны қабылдау немесе теріске шығару туралы қорытынды жасай аламыз және үшіншіден, критерийдің күші туралы қорытынды жасай аламыз.
Сенім аралықтарын пайдаланып гипотезаларды тексеру кезінде келесі ережені сақтау керек:
Егер орташа айырмашылықтың 100(1-а)-пайыздық сенімділік интервалында нөл болмаса, онда айырмашылықтар маңыздылық деңгейінде статистикалық маңызды болып табылады; керісінше, егер бұл интервалда нөл болса, онда айырмашылықтар статистикалық маңызды емес.
Шынында да, егер бұл интервалда нөл болса, онда бұл салыстырылатын көрсеткіш топтардың бірінде екіншісімен салыстырғанда көп немесе аз болуы мүмкін дегенді білдіреді, яғни. байқалатын айырмашылықтар кездейсоқ.
Сенімділік интервалында нөлдің орналасқан жері бойынша критерийдің күшін бағалауға болады. Егер нөл интервалдың төменгі немесе жоғарғы шегіне жақын болса, онда салыстырылатын топтардың көп санымен айырмашылықтар статистикалық мәнге жетеді. Егер нөл интервалдың ортасына жақын болса, онда бұл эксперимент тобындағы көрсеткіштің жоғарылауы да, төмендеуі де бірдей ықтималдылықты білдіреді және, мүмкін, шын мәнінде ешқандай айырмашылықтар жоқ.
Мысалдар:
Анестезияның екі түрін қолдану кезіндегі хирургиялық өлімді салыстыру үшін: анестезияның бірінші түрімен 61 адамға ота жасалды, 8 адам қайтыс болды, екіншісін қолданғанда – 67 адам, 10 адам қайтыс болды.
d 1 \u003d 8/61 \u003d 0,131; d 2 \u003d 10/67 \u003d 0,149; d1-d2 = - 0,018.
Салыстырылған әдістердің өлімге қабілеттілігінің айырмашылығы 100(1-а) = 95% ықтималдығымен (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) немесе (-0,14; 0,104) диапазонында болады. Аралық нөлді қамтиды, яғни. анестезияның екі түрлі түрімен бірдей өлімге әкелетін гипотезаны жоққа шығаруға болмайды.
Осылайша, өлім-жітім 14% -ға дейін төмендеуі мүмкін және болады және 95% ықтималдықпен 10,4% -ға дейін өседі, яғни. нөл шамамен интервалдың ортасында, сондықтан, ең алдымен, бұл екі әдіс өліммен ерекшеленбейді деп айтуға болады.
Жоғарыда қарастырылған мысалда емтихан ұпайлары бойынша әр түрлі студенттердің төрт тобында орташа түрту уақыты салыстырылды. Емтиханды 2 және 5-ке тапсырған студенттер үшін орташа басу уақытының сенімділік интервалдарын және осы орташа мәндер арасындағы айырмашылықтың сенімділік интервалын есептейік.
Студенттік коэффициенттер Студенттік үлестіру кестелерінен табылады (Қосымшаны қараңыз): бірінші топ үшін: = t(0,05;48) = 2,011; екінші топ үшін: = t(0,05;61) = 2,000. Осылайша, бірінші топ үшін сенімділік интервалдары: = (162,19-2,011 * 2,18; 162,19 + 2,011 * 2,18) = (157,8; 166,6) , екінші топ үшін (156,55- 2,000*1,868,+ = (156,55- 2,000*1,86,8); ; 160.3). Сонымен, емтиханды 2 рет тапсырғандар үшін орташа басу уақыты 95% ықтималдықпен 157,8 мс-тен 166,6 мс-ке дейін, 5-ке емтихан тапсырғандар үшін - 95% ықтималдықпен 152,8 мс-тен 160,3 мс-ке дейін. .
Сондай-ақ, нөлдік гипотезаны тек құралдардың айырмашылығы үшін емес, сенімділік аралықтары арқылы тексеруге болады. Мысалы, біздің жағдайымыздағыдай, егер құралдардың сенімділік интервалдары бір-біріне сәйкес келсе, онда нөлдік гипотезаны жоққа шығаруға болмайды. Таңдалған маңыздылық деңгейінде гипотезаны жоққа шығару үшін сәйкес сенімділік интервалдары бір-біріне сәйкес келмеуі керек.
Емтиханды 2 және 5-ке тапсырған топтардағы орташа басу уақытының айырмашылығына сенімділік интервалын табайық. Орташа көрсеткіштердің айырмашылығы: 162,19 - 156,55 = 5,64. Студенттік коэффициент: \u003d t (0,05; 49 + 62-2) \u003d t (0,05; 109) \u003d 1,982. Топтық стандартты ауытқулар мынаған тең болады: ; . Орташалар арасындағы айырмашылықтың орташа қателігін есептейміз: . Сенім аралығы: \u003d (5,64-1,982 * 2,87; 5,64 + 1,982 * 2,87) \u003d (-0,044; 11,33).
Сонымен, емтиханды 2 және 5-те тапсырған топтардағы орташа басу уақытының айырмашылығы -0,044 мс пен 11,33 мс аралығында болады. Бұл интервал нөлді қамтиды, яғни. емтиханды жақсы нәтижелермен тапсырғандар үшін орташа басу уақыты емтиханды қанағаттанарлықсыз тапсырғандармен салыстырғанда артуы да, төмендеуі де мүмкін, яғни. нөлдік гипотезаны жоққа шығаруға болмайды. Бірақ нөл төменгі шекке өте жақын, тамаша өтушілер үшін басу уақыты әлдеқайда азаяды. Осылайша, біз 2 және 5-ке өткендердің орташа басу уақытында әлі де айырмашылықтар бар деп қорытынды жасауға болады, біз оларды орташа уақыттың берілген өзгерісі, орташа уақыттың таралуы және іріктеу өлшемдері үшін анықтай алмадық.
Сынақтың күші - қате нөлдік гипотезаны қабылдамау ықтималдығы, яғни. олардың шын мәнінде орналасқан жеріндегі айырмашылықтарды табыңыз.
Тесттің күші маңыздылық деңгейіне, топтар арасындағы айырмашылықтардың шамасына, топтардағы мәндердің таралуына және таңдама көлеміне байланысты анықталады.
Студенттің t-сынағы және дисперсияны талдау үшін сезімталдық диаграммаларын пайдалануға болады.
Критерийдің күшін топтардың қажетті санын алдын ала анықтауда пайдалануға болады.
Сенімділік интервалы берілген ықтималдықпен есептелген параметрдің шын мәні қандай шектерде жатқанын көрсетеді.
Сенімділік аралықтарының көмегімен статистикалық гипотезаларды тексеруге және критерийлердің сезімталдығы туралы қорытынды жасауға болады.
ӘДЕБИЕТ.
Glantz S. - 6.7 тарау.
Реброва О.Ю. - 112-114 б., 171-173 б., 234-238 б.
Сидоренко Е.В. - 32-33 б.
Оқушылардың өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтары.
1. Критерийдің күші қандай?
2. Қандай жағдайларда критерийлердің күшін бағалау қажет?
3. Қуатты есептеу әдістері.
6. Сенімділік интервалының көмегімен статистикалық гипотезаны қалай тексеруге болады?
7. Сенімділік интервалын есептеу кезінде критерийдің күші туралы не айтуға болады?
Тапсырмалар.
Сенім аралығы(CI; ағылшын тілінде, confidence interval - CI) үлгідегі зерттеуде алынған барлық осындай пациенттердің (жалпы популяция) популяциясы туралы қорытынды жасау үшін зерттеу нәтижелерінің дәлдігінің (немесе белгісіздігінің) өлшемін береді. ). 95% CI дұрыс анықтамасын келесідей тұжырымдауға болады: мұндай аралықтардың 95% популяциядағы шынайы мәнді қамтиды. Бұл интерпретация біршама дәл емес: CI - оның шынайы мәнді қамтитынына 95% сенімді бола алатын мәндер ауқымы. CI пайдалану кезінде статистикалық маңыздылыққа тестілеу нәтижесінде алынатын Р мәніне қарағанда, сандық әсерді анықтауға баса назар аударылады. P мәні қандай да бір соманы бағаламайды, керісінше «әсер жоқ» деген нөлдік гипотезаға қарсы дәлелдемелердің күші өлшемі ретінде қызмет етеді. P мәні бізге айырмашылықтың шамасы туралы, тіпті оның бағыты туралы ештеңе айтпайды. Сондықтан Р-ның тәуелсіз мәндері мақалаларда немесе тезистерде мүлдем ақпараттандырмайды. Керісінше, CI емдеудің пайдалылығы сияқты дереу қызығушылық әсерінің көлемін де, дәлелдердің күшін де көрсетеді. Сондықтан ДИ тікелей ДМ тәжірибесімен байланысты.
CI арқылы суреттелген статистикалық талдаудың баллдық тәсілі қызығушылық әсерінің шамасын өлшеуге (диагностикалық сынақтың сезімталдығы, болжамды аурушаңдық, емдеу кезінде салыстырмалы тәуекелдің төмендеуі және т.б.) және сол әсердегі белгісіздікті өлшеуге бағытталған. Көбінесе CI - бұл шынайы мән болуы мүмкін бағалаудың екі жағындағы мәндер ауқымы және сіз оған 95% сенімді бола аласыз. 95% ықтималдықты пайдалану шарты ерікті, сонымен қатар P мәні<0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».
CI пациенттердің әртүрлі жиынтықтарында орындалған бір зерттеу бірдей нәтижелерді бермей, олардың нәтижелері шынайы, бірақ белгісіз мән айналасында таратылады деген идеяға негізделген. Басқаша айтқанда, CI мұны «үлгіге тәуелді өзгергіштік» ретінде сипаттайды. CI басқа себептерге байланысты қосымша белгісіздікті көрсетпейді; атап айтқанда, пациенттердің таңдамалы жоғалуының бақылауға, нашар сәйкестікке немесе нәтижені дәл емес өлшеуге, соқырлықтың болмауына және т.б. әсерлерін қамтымайды. Осылайша, CI әрқашан белгісіздіктің жалпы сомасын төмендетеді.
Сенімділік аралығын есептеу
А1.1-кесте. Кейбір клиникалық өлшемдер үшін стандартты қателер және сенімділік аралықтары
Әдетте, CI екі пропорция арасындағы айырмашылық (d) және осы айырмашылықты бағалаудағы стандартты қате (SE) сияқты сандық өлшемнің бақыланатын бағалауынан есептеледі. Осылайша алынған шамамен 95% CI d ± 1,96 SE құрайды. Формула нәтиже көрсеткішінің сипатына және CI қамтуына сәйкес өзгереді. Мысалы, жасушасыз көкжөтел вакцинасының рандомизацияланған плацебо-бақыланатын сынағы кезінде вакцинаны алған 1670 нәрестенің 72-сінде (4,3%) және бақылау тобындағы 1665-тің 240-ында (14,4%) көкжөтел дамыған. Тәуекелдің абсолютті төмендеуі ретінде белгілі пайыздық айырмашылық 10,1% құрайды. Бұл айырмашылықтың SE 0,99% құрайды. Тиісінше, 95% CI 10,1% + 1,96 x 0,99%, яғни. 8,2-ден 12,0-ге дейін.
Әртүрлі философиялық тәсілдерге қарамастан, CI және статистикалық маңыздылыққа арналған тесттер математикалық тұрғыдан тығыз байланысты.
Осылайша, P мәні «маңызды», яғни. Р<0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.
CI-де көрсетілген бағалаудың белгісіздігі (дәл еместігі) іріктеме көлемінің квадрат түбірімен байланысты. Кішкентай үлгілер үлкен үлгілерге қарағанда аз ақпарат береді, ал кіші үлгілерде CI сәйкесінше кеңірек болады. Мысалы, Helicobacter pylori инфекциясын диагностикалау үшін пайдаланылған үш сынақтың өнімділігін салыстыратын мақалада мочевина сынамасының сезімталдығы 95,8% (95% CI 75-100) туралы айтылды. 95,8% көрсеткіш әсерлі болып көрінгенімен, 24 ересек H. pylori пациенттерінің шағын іріктеу мөлшері кең CI көрсеткендей, бұл бағалауда айтарлықтай белгісіздік бар екенін білдіреді. Шынында да, 75% төменгі шегі 95,8% бағалаудан әлдеқайда төмен. Егер бірдей сезімталдық 240 адамнан тұратын үлгіде байқалса, 95% CI 92,5-98,0 болады, бұл сынақтың жоғары сезімталдығына көбірек сенімділік береді.
Рандомизацияланған бақыланатын зерттеулерде (RCTs) маңызды емес нәтижелер (яғни, P > 0,05 барлар) қате интерпретацияға өте сезімтал. Бұл жерде CI әсіресе пайдалы, өйткені ол нәтижелердің клиникалық пайдалы шынайы әсермен қаншалықты үйлесімді екенін көрсетеді. Мысалы, тоқ ішектегі тігіс пен штапельдік анастомозды салыстыратын RCT-те жара инфекциясы науқастардың 10,9% және 13,5% сәйкесінше дамыды (P = 0,30). Бұл айырмашылық үшін 95% CI 2,6% (-2-ден +8) құрайды. Тіпті 652 пациентті қамтыған осы зерттеудің өзінде екі процедурадан туындаған инфекциялар жиілігінде қарапайым айырмашылық болуы мүмкін. Зерттеу неғұрлым аз болса, белгісіздік соғұрлым жоғары болады. Сунг және т.б. 100 пациентте жедел варикозды қан кету кезінде октреотидті инфузияны шұғыл склеротерапиямен салыстыратын RCT жасады. Октреотидтер тобында қан кетуді тоқтату көрсеткіші 84% құрады; склеротерапия тобында - 90%, бұл P = 0,56 береді. Жалғастырылған қан кету жылдамдығы аталған зерттеудегі жара инфекциясының көрсеткіштеріне ұқсас екенін ескеріңіз. Бұл жағдайда интервенциялардағы айырмашылық үшін 95% CI 6% (-7-ден +19) құрайды. Бұл диапазон клиникалық қызығушылық тудыратын 5% айырмашылықпен салыстырғанда өте кең. Зерттеу тиімділіктегі айтарлықтай айырмашылықты жоққа шығармайтыны анық. Сондықтан авторлардың «октреотидті инфузия мен склеротерапия варикозды қан кетуді емдеуде бірдей тиімді» деген тұжырымы сөзсіз дұрыс емес. Тәуекелдің абсолютті төмендеуіне арналған 95% CI (ARR) нөлді қамтитын жағдайларда, мұнда NNT үшін CI (емдеуге қажетті сан) түсіндіру өте қиын. . NLP және оның CI АСР-ның кері мәндерінен алынады (егер бұл мәндер пайызбен берілген болса, оларды 100-ге көбейту). Мұнда біз NPP = 100: 6 = 16,6 аламыз, 95% CI -14,3-тен 5,3-ке дейін. Кестедегі «d» ескертуінен көрініп тұрғандай. A1.1, бұл CI NTPP үшін 5,3-тен шексіздікке дейін және NTLP үшін 14,3-тен шексіздікке дейінгі мәндерді қамтиды.
CI жиі қолданылатын статистикалық бағалаулар немесе салыстырулар үшін құрастырылуы мүмкін. RCT үшін ол орташа пропорциялар, салыстырмалы тәуекелдер, ықтималдық коэффициенттері және NRR арасындағы айырмашылықты қамтиды. Сол сияқты, CI диагностикалық сынақ дәлдігін зерттеулерде жасалған барлық негізгі бағалаулар үшін алынуы мүмкін - сезімталдық, ерекшелік, оң болжамдық мән (олардың барлығы қарапайым пропорциялар) және ықтималдық коэффициенттері - мета-талдаулар мен салыстыру-бақылау кезінде алынған бағалаулар. оқиды. Осы DI қолдануларының көпшілігін қамтитын дербес компьютер бағдарламасы сеніммен статистиканың екінші басылымында қол жетімді. Пропорциялар үшін CI есептеуге арналған макростар Excel және SPSS және Minitab статистикалық бағдарламалары үшін http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_statistics/research/statistics/proportions, htm мекенжайында еркін қол жетімді.
Емдеу әсерін бірнеше бағалау
Зерттеудің бастапқы нәтижелері үшін CI құру қажет болғанымен, олар барлық нәтижелер үшін талап етілмейді. CI клиникалық маңызды салыстыруларға қатысты. Мысалы, екі топты салыстырған кезде, жоғарыдағы мысалдарда көрсетілгендей топтар арасындағы айырмашылық үшін құрастырылған дұрыс CI болады, ал әр топтағы бағалау үшін құрастыруға болатын CI емес. Әр топтағы ұпайлар үшін бөлек CI беру пайдасыз ғана емес, бұл презентация жаңылыстыруы мүмкін. Сол сияқты, әртүрлі топшалардағы емдеу тиімділігін салыстыру кезіндегі дұрыс тәсіл екі (немесе одан да көп) кіші топтарды тікелей салыстыру болып табылады. Емдеу тек бір топшада ғана тиімді деп болжау дұрыс емес, егер оның CI әсер етпейтін мәнді алып тастаса, ал басқалары жоқ. CI бірнеше ішкі топтар бойынша нәтижелерді салыстыру кезінде де пайдалы. Суретте. A1.1 магний сульфатының плацебо-бақыланатын RCT әйелдерінің кіші топтарындағы преэклампсиямен ауыратын әйелдерде эклампсияның салыстырмалы қаупін көрсетеді.
Күріш. A1.2. Орман графигі плацебоға қарсы диареяның алдын алу үшін сиыр ротавирусына қарсы вакцинаның 11 рандомизацияланған клиникалық сынақтарының нәтижелерін көрсетеді. 95% сенімділік интервалы диареяның салыстырмалы қаупін бағалау үшін пайдаланылды. Қара шаршының өлшемі ақпарат көлеміне пропорционал. Сонымен қатар, емдеу тиімділігінің жиынтық бағасы және 95% сенімділік интервалы (гауһар таспен көрсетілген) көрсетілген. Мета-анализде кейбір алдын ала белгіленген үлгілерден асатын кездейсоқ әсерлер моделі қолданылды; мысалы, бұл үлгі өлшемін есептеуде қолданылатын өлшем болуы мүмкін. Неғұрлым қатаң критерийге сәйкес, CI барлық ауқымы алдын ала белгіленген минимумнан асатын артықшылықты көрсетуі керек.
Біз екі емдеудің бірдей тиімді екендігінің көрсеткіші ретінде статистикалық маңыздылықтың жоқтығын қабылдаудың қателігін талқыладық. Статистикалық маңыздылықты клиникалық маңыздылықпен теңестірмеу бірдей маңызды. Нәтиже статистикалық тұрғыдан маңызды болған кезде және емдік жауаптың шамасы болған кезде клиникалық маңыздылығын қабылдауға болады
Зерттеулер нәтижелердің статистикалық маңызды екенін және қайсысы клиникалық маңызды және қайсысы емес екенін көрсете алады. Суретте. A1.2 төрт сынақтың нәтижелерін көрсетеді, олар үшін барлық CI<1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.
Статистикада бағалаудың екі түрі бар: нүктелік және интервалдық. Нүктелерді бағалаужиынтық параметрін бағалау үшін пайдаланылатын жалғыз іріктеме статистикасы болып табылады. Мысалы, орташа үлгі жиынтық орташа мәнін және таңдау дисперсиясының нүктелік бағасы болып табылады S2- популяция дисперсиясының нүктелік бағасы σ2. орташа іріктеу халықтың күтуінің бейтарап бағасы екені көрсетілді. Таңдаудың орташа мәні бейтарап деп аталады, себебі барлық іріктеме құралдарының орташа мәні (бірдей іріктеу өлшемімен n) жалпы халықтың математикалық күтуіне тең.
Үлгі дисперсиясы үшін S2популяция дисперсиясының бейтарап бағалаушысы болды σ2, таңдамалы дисперсияның бөлгіші тең болуы керек n – 1 , бірақ жоқ n. Басқаша айтқанда, жиынтық дисперсиясы барлық ықтимал таңдау дисперсияларының орташа мәні болып табылады.
Популяция параметрлерін бағалау кезінде, мысалы, іріктеу статистикасын есте ұстаған жөн , арнайы үлгілерге байланысты. Осы фактіні ескеру, алу интервалды бағалаужалпы халықтың математикалық күтуі таңдамалы құралдардың таралуын талдайды (толығырақ ақпаратты қараңыз). Құрылған интервал белгілі бір сенімділік деңгейімен сипатталады, бұл жалпы жиынтықтың шынайы параметрінің дұрыс бағалану ықтималдығы. Ұқсас сенімді аралықтарды мүмкіндіктің үлесін бағалау үшін пайдалануға болады Ржәне жалпы халықтың негізгі таралған массасы.
Ескертпе немесе пішім, пішімдегі мысалдар жүктеп алыңыз
Белгілі стандартты ауытқуы бар жалпы халықтың математикалық күтуіне сенімділік интервалын құру
Жалпы популяциядағы белгінің үлесі үшін сенімділік интервалын құру
Бұл бөлімде сенімділік интервалының түсінігі категориялық деректерге дейін кеңейтілген. Бұл жалпы популяциядағы белгінің үлесін бағалауға мүмкіндік береді Рүлгі үлесімен РС= X/n. Жоғарыда айтылғандай, егер құндылықтар nРжәне n(1 - б) 5 санынан асып кетсе, биномдық үлестірімді қалыптыға жақындатуға болады. Сондықтан жалпы популяциядағы белгінің үлесін бағалау Рсенімділік деңгейі тең болатын интервалды құруға болады (1 - α)x100%.
қайда бС- мүмкіндіктің үлгі үлесі, тең X/n, яғни. жетістіктер саны үлгі өлшеміне бөлінген, Р- жалпы популяциядағы белгінің үлесі; Зстандартталған қалыпты таралудың критикалық мәні, n- үлгі өлшемі.
3-мысалСоңғы айда толтырылған 100 шот-фактурадан тұратын үлгі ақпараттық жүйеден алынды делік. Осы шот-фактуралардың 10-ы дұрыс емес делік. Осылайша, Р= 10/100 = 0,1. 95% сенімділік деңгейі Z = 1,96 сыни мәніне сәйкес келеді.
Осылайша, шот-фактуралардың 4,12% және 15,88% арасында қателер болуының 95% ықтималдығы бар.
Берілген іріктеу өлшемі үшін жалпы жиынтықтағы белгінің үлесін қамтитын сенімділік аралығы үздіксіз кездейсоқ шамаға қарағанда кеңірек болып көрінеді. Себебі үздіксіз кездейсоқ шаманың өлшемдері категориялық деректердің өлшемдеріне қарағанда көбірек ақпаратты қамтиды. Басқаша айтқанда, тек екі мәнді қабылдайтын категориялық деректерде олардың таралу параметрлерін бағалау үшін жеткіліксіз ақпарат бар.
ATшектеулі жиынтықтан алынған бағалауларды есептеу
Математикалық күтуді бағалау.Түпкілікті жиынтық үшін түзету коэффициенті ( fpc) стандартты қатені есе азайту үшін пайдаланылды. Популяция параметрлерін бағалау үшін сенімділік интервалдарын есептеу кезінде үлгілер алмастырусыз алынған жағдайларда түзету коэффициенті қолданылады. Осылайша, сенімділік деңгейіне ие математикалық күту үшін сенімділік интервалы тең (1 - α)x100%, мына формуламен есептеледі:
4-мысалТүзету коэффицентінің шекті жиынтық үшін қолданылуын суреттеу үшін жоғарыдағы 3-мысалда қарастырылған шот-фактуралардың орташа сомасы үшін сенімділік интервалын есептеу мәселесіне оралайық.Компания айына 5000 шот-фактура шығарады делік, және X̅=110,27 АҚШ доллары, С= $28,95 Н = 5000, n = 100, α = 0,05, t99 = 1,9842. (6) формула бойынша мынаны аламыз:
Ерекшелік үлесін бағалау.Қайтарусыз таңдау кезінде сенімділік деңгейі тең мүмкіндіктің үлесі үшін сенімділік аралығы (1 - α)x100%, мына формуламен есептеледі:
Сенім аралықтары және этикалық мәселелер
Популяцияны іріктеу және статистикалық қорытындыларды тұжырымдау кезінде этикалық мәселелер жиі туындайды. Ең бастысы, таңдау статистикасының сенімділік интервалдары мен нүктелік бағалаулары қалай сәйкес келеді. Сәйкес сенімділік интервалдарын (әдетте 95% сенімділік деңгейлерінде) және олар алынған таңдама өлшемін көрсетпей жариялау нүктесінің бағалаулары жаңылыстыруы мүмкін. Бұл пайдаланушыға нүктелік баға бүкіл халықтың қасиеттерін болжау үшін дәл қажет деген әсер қалдыруы мүмкін. Сонымен, кез келген зерттеуде нүктелік емес, интервалдық бағалар бірінші орынға қойылуы керек екенін түсіну керек. Сонымен қатар, үлгі өлшемдерін дұрыс таңдауға ерекше назар аудару керек.
Көбінесе статистикалық айла-шарғылардың объектілері әртүрлі саяси мәселелер бойынша халық арасында жүргізілген социологиялық сауалнамалардың нәтижелері болып табылады. Бұл ретте сауалнама нәтижелері газеттердің бірінші беттеріне орналастырылып, іріктеу қатесі мен статистикалық талдау әдістемесі бір жерде басылады. Алынған нүктелік бағалаулардың негізділігін дәлелдеу үшін олардың негізінде алынған таңдау көлемін, сенімділік интервалының шекараларын және оның маңыздылық деңгейін көрсету қажет.
Келесі ескерту
Левин және басқалар кітабының материалдары Менеджерлерге арналған статистика қолданылады. - М.: Уильямс, 2004. - б. 448–462
Орталық шек теоремасыжеткілікті үлкен іріктеме көлемін ескере отырып, құралдардың іріктеме үлестірімі қалыпты үлестірім арқылы жуықталатынын айтады. Бұл қасиет популяцияның таралу түріне байланысты емес.
ЖИІЛДІКТЕР МЕН БӨЛШЕКТЕР ҮШІН СЕНІМДІЛІК АРАЛЫҚТАР
© 2008
Ұлттық денсаулық сақтау институты, Осло, Норвегия
Мақалада Уолд, Вильсон, Клоппер-Пирсон әдістерін, бұрыштық түрлендіруді және Уолд әдісін Агрести-Коулл түзетуімен пайдалана отырып, жиіліктер мен пропорциялар үшін сенімділік интервалдарын есептеу сипатталады және талқыланады. Ұсынылған материал жиіліктер мен пропорциялар үшін сенімділік интервалдарын есептеу әдістері туралы жалпы ақпарат береді және журнал оқырмандарының өз зерттеулерінің нәтижелерін ұсыну кезінде сенімділік интервалдарын қолдануға ғана емес, сонымен қатар зерттеуді бастамас бұрын арнайы әдебиеттерді оқуға деген қызығушылықты оятуға арналған. болашақ басылымдармен жұмыс істеу.
Түйінді сөздер: сенімділік интервалы, жиілік, пропорция
Алдыңғы басылымдардың бірінде сапалық деректердің сипаттамасы қысқаша айтылып, олардың интервалдық бағасы жалпы популяцияда зерттелетін сипаттаманың пайда болу жиілігін сипаттау үшін нүктелік бағалаудан жақсырақ екендігі хабарланды. Шынында да, зерттеулер іріктемелік деректерді пайдалана отырып жүргізілетіндіктен, жалпы жиынтық бойынша нәтижелердің проекциясы таңдамалы бағалауда дәлсіздік элементін қамтуы керек. Сенімділік интервалы болжанатын параметрдің дәлдігінің өлшемі болып табылады. Бір қызығы, дәрігерлерге арналған статистика негіздері туралы кейбір кітаптарда жиіліктер үшін сенімділік аралықтары тақырыбы толығымен еленбейді. Бұл мақалада біз қайталанбау және репрезентативтілік, сондай-ақ бақылаулардың бір-бірінен тәуелсіздігі сияқты үлгі сипаттамаларын болжа отырып, жиіліктер үшін сенімділік интервалдарын есептеудің бірнеше жолдарын қарастырамыз. Бұл мақаладағы жиілік жиынтықта осы немесе басқа мәннің қанша рет кездесетінін көрсететін абсолютті сан ретінде түсінілмейді, бірақ зерттелетін қасиетке ие зерттеуге қатысушылардың үлесін анықтайтын салыстырмалы мән.
Биомедициналық зерттеулерде 95% сенімділік интервалдары жиі қолданылады. Бұл сенімділік аралығы нақты пропорция уақыттың 95%-ына түсетін аймақ болып табылады. Басқаша айтқанда, жалпы популяцияда белгінің пайда болу жиілігінің шынайы мәні 95% сенімділік интервалында болады деп 95% сенімділікпен айтуға болады.
Медициналық зерттеушілерге арналған статистикалық оқулықтардың көпшілігінде жиілік қателігі формула арқылы есептелетінін хабарлайды
мұндағы p – үлгідегі белгінің пайда болу жиілігі (мәні 0-ден 1-ге дейін). Отандық ғылыми мақалалардың көпшілігінде үлгідегі белгінің (p) пайда болу жиілігінің мәні, сондай-ақ оның қатесі (s) p ± s түрінде көрсетіледі. Дегенмен, жалпы популяциядағы белгілердің пайда болу жиілігі үшін 95% сенімділік интервалын ұсыну орындырақ, ол келесі мәндерді қамтиды
 |
бұрын.
Кейбір оқулықтарда шағын үлгілер үшін 1,96 мәнін N – 1 еркіндік дәрежесі үшін t мәнімен ауыстыру ұсынылады, мұндағы N – таңдаудағы бақылаулар саны. t мәні статистика бойынша барлық дерлік оқулықтарда бар t үлестіріміне арналған кестелерде кездеседі. Вальд әдісі үшін t үлестірімін пайдалану төменде талқыланған басқа әдістерге қарағанда көрінетін артықшылықтарды қамтамасыз етпейді, сондықтан кейбір авторлар құптамайды.
Жиіліктер немесе фракциялар үшін сенімділік аралықтарын есептеудің жоғарыда аталған әдісі Авраам Вальдтың атымен аталған (Abraham Wald, 1902–1950), өйткені ол 1939 жылы Вальд пен Вольфовицтің жарияланымынан кейін кеңінен қолданыла бастады. Дегенмен, әдістің өзін 1812 жылы Пьер Саймон Лаплас (1749–1827) ұсынған.
Вальд әдісі өте танымал, бірақ оны қолдану маңызды мәселелермен байланысты. Әдіс кішігірім іріктеу өлшемдері үшін, сондай-ақ мүмкіндіктің пайда болу жиілігі 0 немесе 1 (0% немесе 100%) бейім және 0 және 1 жиіліктері үшін жай ғана мүмкін емес жағдайларда ұсынылмайды. Сонымен қатар, қатені есептеу кезінде қолданылатын қалыпты таралу жуықтауы n p болған жағдайда «жұмыс істемейді».< 5 или n · (1 – p) < 5 . Более консервативные статистики считают, что n · p и n · (1 – p) должны быть не менее 10 . Более детальное рассмотрение метода Вальда показало, что полученные с его помощью доверительные интервалы в большинстве случаев слишком узки, то есть их применение ошибочно создает слишком оптимистичную картину, особенно при удалении частоты встречаемости признака от 0,5, или 50 % . К тому же при приближении частоты к 0 или 1 доверительный интревал может принимать отрицательные значения или превышать 1, что выглядит абсурдно для частот. Многие авторы совершенно справедливо не рекомендуют применять данный метод не только в уже упомянутых случаях, но и тогда, когда частота встречаемости признака менее 25 % или более 75 % . Таким образом, несмотря на простоту расчетов, метод Вальда может применяться лишь в очень ограниченном числе случаев. Зарубежные исследователи более категоричны в своих выводах и однозначно рекомендуют не применять этот метод для небольших выборок , а ведь именно с такими выборками часто приходится иметь дело исследователям-медикам.
Жаңа айнымалы қалыпты таралғандықтан, φ айнымалысы үшін 95% сенімділік интервалының төменгі және жоғарғы шекаралары φ-1,96 және φ+1,96left"> болады.
Шағын үлгілер үшін 1,96 орнына N - 1 еркіндік дәрежесі үшін t мәнін ауыстыру ұсынылады. Бұл әдіс теріс мән бермейді және Вальд әдісіне қарағанда жиіліктер үшін сенімділік аралықтарын дәлірек бағалауға мүмкіндік береді. Сонымен қатар, ол медициналық статистика бойынша көптеген отандық анықтамалықтарда сипатталған, бірақ бұл оның медициналық зерттеулерде кеңінен қолданылуына әкелмеді. 0 немесе 1-ге жақындаған жиіліктер үшін бұрышты түрлендіру арқылы сенімділік интервалдарын есептеу ұсынылмайды.
Медициналық зерттеушілерге арналған статистика негіздері бойынша кітаптардың көпшілігінде сенімділік интервалдарын бағалау әдістерінің сипаттамасы осымен аяқталады және бұл мәселе тек отандық емес, сонымен қатар шетелдік әдебиеттерге де тән. Екі әдіс те үлкен таңдауды білдіретін орталық шек теоремасына негізделген.
Жоғарыда келтірілген әдістерді қолдана отырып, сенімділік интервалдарын бағалаудың кемшіліктерін ескере отырып, Клоппер (Клоппер) және Пирсон (Пирсон) 1934 жылы зерттелетін белгінің биномдық таралуын ескере отырып, дәл сенімділік интервалы деп аталатын есептеу әдісін ұсынды. Бұл әдіс көптеген онлайн-калькуляторларда қол жетімді, бірақ осылайша алынған сенімділік интервалдары көп жағдайда тым кең. Сонымен бірге бұл әдісті консервативті бағалау қажет болған жағдайда қолдану ұсынылады. Әдістің консервативтілік дәрежесі іріктеме көлемі азайған сайын артады, әсіресе N үшін< 15 . описывает применение функции биномиального распределения для анализа качественных данных с использованием MS Excel, в том числе и для определения доверительных интервалов, однако расчет последних для частот в электронных таблицах не «затабулирован» в удобном для пользователя виде, а потому, вероятно, и не используется большинством исследователей.
Көптеген статистиктердің пікірінше, жиіліктер үшін сенімділік интервалдарының ең оңтайлы бағасы 1927 жылы ұсынылған Вильсон әдісімен жүзеге асырылады, бірақ отандық биомедициналық зерттеулерде іс жүзінде қолданылмайды. Бұл әдіс өте кіші және өте жоғары жиіліктер үшін сенімділік аралықтарын бағалауға мүмкіндік беріп қана қоймайды, сонымен қатар бақылаулардың аз санына да қолданылады. Жалпы алғанда, Вильсон формуласы бойынша сенімділік интервалы мынадан тұрады
 |
 |
мұндағы 95% сенімділік интервалын есептеу кезінде 1,96 мәнін қабылдайды, N – бақылаулар саны, ал p – таңдамадағы белгінің жиілігі. Бұл әдіс онлайн-калькуляторларда қол жетімді, сондықтан оны қолдану қиындық тудырмайды. және n p үшін бұл әдісті пайдалануды ұсынбаңыз< 4 или n · (1 – p) < 4 по причине слишком грубого приближения распределения р к нормальному в такой ситуации, однако зарубежные статистики считают метод Уилсона применимым и для малых выборок .
Вильсон әдісінен басқа, Агрести-Кол түзетілген Вальд әдісі жиіліктер үшін сенімділік интервалының оңтайлы бағасын береді деп саналады. Агрести-Кул түзетуі – Вальд формуласында (p) үлгідегі белгінің пайда болу жиілігін p`-ге ауыстыру, есептеу кезінде алымға қайсысы 2, ал бөлгішке 4 қосылды, яғни , p` = (X + 2) / (N + 4), мұндағы X - зерттелетін қасиетке ие зерттеуге қатысушылардың саны, ал N - іріктеу мөлшері. Бұл модификация оқиға жылдамдығы 0% немесе 100% жақындаған және үлгі аз болған жағдайларды қоспағанда, Вилсон формуласына өте ұқсас нәтижелер береді. Жиіліктер үшін сенімділік интервалдарын есептеудің жоғарыда аталған әдістеріне қосымша, Уолд әдісі үшін де, шағын үлгілер үшін Вильсон әдісі үшін де үздіксіздік түзетулері ұсынылды, бірақ зерттеулер оларды пайдаланудың орынсыз екенін көрсетті.
Екі мысалды пайдалана отырып, сенімділік интервалдарын есептеу үшін жоғарыда аталған әдістерді қолдануды қарастырыңыз. Бірінші жағдайда біз кездейсоқ таңдалған 1000 зерттеуге қатысушылардың үлкен іріктемесін зерттейміз, олардың 450-де зерттелетін қасиет (қауіп факторы, нәтиже немесе кез келген басқа қасиет болсын), жиілігі 0,45 немесе 45%. Екінші жағдайда, зерттеу шағын үлгіні пайдалана отырып жүргізіледі, айталық, тек 20 адам және зерттеуге тек 1 қатысушыда (5%) зерттелетін қасиет бар. Уолд әдісі үшін, Агрести-Колл түзетуі бар Валд әдісі үшін, Вилсон әдісі үшін сенімділік интервалдары Джефф Сауро әзірлеген онлайн калькулятор арқылы есептелді (http://www./wald.htm). Үздіксіздігі бойынша түзетілген Уилсон сенімділік интервалдары Wassar Stats: Статистикалық есептеулер веб-сайты (http://faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html) ұсынған калькулятор арқылы есептелді. Фишердің бұрыштық түрлендіруін қолданатын есептеулер сәйкесінше 19 және 999 еркіндік дәрежесі үшін t сыни мәнін пайдаланып, «қолмен» орындалды. Есептеу нәтижелері екі мысал үшін де кестеде берілген.
Мәтінде сипатталған екі мысал үшін алты түрлі жолмен есептелген сенімділік интервалдары
Сенімділік интервалын есептеу әдісі |
P=0,0500 немесе 5% | X=450, N=1000, P=0,4500 немесе 45% үшін 95% CI |
–0,0455–0,2541 | ||
Вальда Agresti-Coll түзетуімен | <,0001–0,2541 | |
Вильсон үздіксіздік түзетуімен | ||
Клоппер-Пирсонның «нақты әдісі» | ||
Бұрыштық түрлендіру | <0,0001–0,1967 |
Кестеден көрініп тұрғандай, бірінші мысал үшін «жалпы қабылданған» Вальд әдісімен есептелген сенімділік интервалы теріс аймаққа өтеді, бұл жиіліктер үшін болуы мүмкін емес. Өкінішке орай, мұндай оқиғалар орыс әдебиетінде сирек емес. Деректерді жиілік және оның қатесі ретінде көрсетудің дәстүрлі тәсілі бұл мәселені ішінара жасырады. Мысалы, егер белгінің пайда болу жиілігі (пайызбен) 2,1 ± 1,4 ретінде ұсынылса, бұл 2,1% (95% CI: –0,7; 4,9) сияқты «тітіркендіргіш» емес, дегенмен және бірдей мағынаны білдіреді. Агрести-Кул түзетуі бар Вальд әдісі және бұрыштық түрлендіру арқылы есептеу нөлге ұмтылатын төменгі шекті береді. Үздіксіздігін түзетуі бар Вилсон әдісі және «нақты әдіс» Вильсон әдісіне қарағанда кеңірек сенімділік интервалдарын береді. Екінші мысал үшін барлық әдістер шамамен бірдей сенімділік интервалдарын береді (айырмашылықтар тек мыңдықпен көрінеді), бұл таңқаларлық емес, өйткені бұл мысалдағы оқиғаның жиілігі 50% -дан көп ерекшеленбейді, ал іріктеу мөлшері айтарлықтай үлкен. .
Осы мәселеге қызығушылық танытқан оқырмандар үшін біз R. G. Newcombe және Brown, Cai және Dasgupta еңбектерін ұсына аламыз, олар сәйкесінше 7 және 10 сенімділік интервалдарын есептеудің әртүрлі әдістерін қолданудың оң және теріс жақтарын береді. Отандық нұсқаулықтардан кітап ұсынылады, онда теорияның егжей-тегжейлі сипаттамасына қосымша Уолд және Вильсон әдістері, сондай-ақ биномдық жиіліктің таралуын ескере отырып, сенімділік интервалдарын есептеу әдісі ұсынылған. Тегін онлайн калькуляторларға қосымша (http://www./wald.htm және http://faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html), жиіліктер үшін сенімділік интервалдарын (тек қана емес!) көмегімен есептеуге болады. CIA бағдарламасы ( Confidence Intervals Analysis), оны http://www. медициналық мектеп. сотон. ак. uk/cia/ .
Келесі мақалада сапалы деректерді салыстырудың бір мәнді тәсілдері қарастырылады.
Әдебиеттер тізімі
Медициналық статистика қарапайым тілде: кіріспе курс / А.Банержи. - М. : Практикалық медицина, 2007. - 287 б. Медициналық статистика/. - М. : Медициналық ақпарат агенттігі, 2007. - 475 б. Медициналық-биологиялық статистика / С.Глантс. - М.: Практика, 1998 ж. Деректер түрлері, таралуын тексеру және сипаттамалық статистика // Адам экологиясы - 2008. - № 1. - 52–58 Б. FROM. Медициналық статистика: оқу құралы / . - Ростов н / Д: Феникс, 2007. - 160 б. Қолданбалы медициналық статистика / , . - Санкт Петербург. : Фолиант, 2003. - 428 б. Ф. Биометрия/. - М. : Жоғары мектеп, 1990. - 350 б. БІРАҚ. Медицинадағы математикалық статистика / , . - М. : Қаржы және статистика, 2007. - 798 б. Клиникалық зерттеулердегі математикалық статистика / , . - М. : ГЕОТАР-МЕД, 2001. - 256 б. Жункеров В. Және. Медициналық зерттеу мәліметтерін медициналық-статистикалық өңдеу /,. - Санкт Петербург. : ВмедА, 2002. - 266 б. Агрести А.Биномдық пропорцияларды интервалдық бағалау үшін дәлден гөрі жуықтау жақсы / А. Агрести, Б. Кулл // Американдық статистик. - 1998. - N 52. - С. 119-126. Альтман Д.Сеніммен статистика // Д.Алтман, Д.Мачин, Т.Брайант, М.Дж.Гарднер. - Лондон: BMJ Books, 2000. - 240 б. Браун Л.Д.Биномдық пропорция үшін интервалды бағалау / L. D. Brown, T. T. Cai, A. Dasgupta // Статистика ғылымы. - 2001. - N 2. - 101-133 б. Клоппер C.J.Сенімділік немесе сенімді шектеулерді пайдалану биномдық жағдайда суреттелген / C. J. Clopper, E. S. Pearson // Biometrika. - 1934. - N 26. - 404-413 б. Гарсиа-Перес М.А. Биномдық параметр үшін сенімділік интервалы туралы / M. A. Гарсиа-Перес // Сапа және сан. - 2005. - N 39. - 467-481 Б. Мотульский Х.Интуитивтік биостатистика // Х.Мотульский. - Оксфорд: Оксфорд университетінің баспасы, 1995. - 386 б. Ньюкомб Р.Г.Бір пропорцияға арналған екі жақты сенімділік интервалдары: Жеті әдісті салыстыру / R. G. Newcombe // Медицинадағы статистика. - 1998. - Н. 17. - Б. 857–872. Сауро Дж.Биномдық сенімділік интервалдарын пайдалана отырып, шағын үлгілерден аяқтау жылдамдығын бағалау: салыстырулар мен ұсыныстар / Дж. Сауро, Дж. Р. Льюис // Адам факторлары және эргономика қоғамының жылдық жиналысының материалдары. – Орландо, Флорида, 2005 ж. Уолд А.Үздіксіз үлестіру функциялары үшін сенімділік шегі // А.Волд, Дж.Вольфовиц // Математикалық статистика жылнамасы. - 1939. - N 10. - 105–118 б. Вилсон Е.Б. Ықтимал қорытынды, сабақтастық заңы және статистикалық қорытынды / E. B. Wilson // Американдық статистикалық қауымдастықтың журналы. - 1927. - N 22. - 209-212 б.ПРОПОРЦИЯЛАР ҮШІН СЕНІМДІЛІК аралықтары
А. М.Гржибовский
Ұлттық денсаулық сақтау институты, Осло, Норвегия
Мақалада биномдық пропорциялар үшін сенімділік интервалдарын есептеудің бірнеше әдістері ұсынылған, атап айтқанда, Уолд, Вильсон, арксинус, Агрести-Кулл және дәл Клоппер-Пирсон әдістері. Бұл мақалада биномдық пропорцияның сенімділік интервалын бағалау мәселесіне жалпы кіріспе берілген және оның мақсаты оқырмандарды өздерінің эмпирикалық зерттеу интервалдарының нәтижелерін ұсыну кезінде сенімділік интервалдарын пайдалануға ынталандыру ғана емес, сонымен қатар оларды статистикалық кітаптармен кеңесуге ынталандыру болып табылады. өз деректерін талдау және қолжазбаларды дайындау.
негізгі сөздер: сенімділік интервалы, пропорция
Байланыс ақпараты:
– Аға кеңесші, Ұлттық денсаулық сақтау институты, Осло, Норвегия
Қарапайым өлшемдердің басым көпшілігі үшін кездейсоқ қателердің қалыпты заңы өте жақсы орындалады ( Гаусс заңы), келесі эмпирикалық ережелерден алынған.
1) өлшеу қателері мәндердің үздіксіз қатарын қабылдауы мүмкін;
2) өлшемдердің көп санымен бірдей шамадағы, бірақ белгісі басқа қателер бірдей жиі кездеседі;
3) кездейсоқ қателік неғұрлым үлкен болса, оның пайда болу ықтималдығы соғұрлым аз болады.
Қалыпты Гаусс таралу графигі 1-суретте көрсетілген. Қисық теңдеу формасы бар
мұндағы қатенің ықтималдығын сипаттайтын кездейсоқ қателердің (қателердің) таралу функциясы, σ – орташа квадраттық қателік.
σ мәні кездейсоқ шама емес және өлшеу процесін сипаттайды. Егер өлшеу шарттары өзгермесе, онда σ тұрақты болып қалады. Бұл шаманың квадраты деп аталады өлшемдердің дисперсиясы.Дисперсия неғұрлым аз болса, жеке мәндердің таралуы соғұрлым аз болады және өлшеу дәлдігі соғұрлым жоғары болады.
Түбір – квадрат қатесінің σ нақты мәні, сондай-ақ өлшенетін шаманың шын мәні белгісіз. Бұл параметрдің статистикалық бағасы деп аталатын түрі бар, оған сәйкес орташа квадраттық қателік орташа арифметикалық шаманың орташа квадраттық қателігіне тең. Оның мәні формуламен анықталады
нәтиже қайда мен- ші өлшем; - алынған шамалардың орташа арифметикалық мәні; nөлшемдер саны болып табылады.
Өлшемдер саны неғұрлым көп болса, соғұрлым кішірек және σ-ға жақындайды. Егер өлшенетін шаманың шын мәні μ, оның өлшеу нәтижесінде алынған орташа арифметикалық мәні және кездейсоқ абсолютті қателік болса, онда өлшеу нәтижесі ретінде жазылады.
Өлшенетін μ шамасының шын мәні түсетін мәндер аралығы μ-ден -ге дейін деп аталады. сенімділік интервалы.Бұл кездейсоқ шама болғандықтан, ақиқат мән α ықтималдығы бар сенімділік интервалына түседі, ол деп аталады. сенімділік ықтималдығы,немесе сенімділікөлшемдер. Бұл мән сандық жағынан көлеңкеленген қисық сызықты трапецияның ауданына тең. (суретті қараңыз.)
Мұның бәрі σ-ға жақын болған кезде жеткілікті үлкен өлшемдер санына қатысты. Зертханалық жұмыс барысында қарастырылатын өлшемдердің аз саны үшін сенімділік интервалы мен сенімділік деңгейін табу үшін біз пайдаланамыз Студенттік ықтималдық үлестірімі.Бұл кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі деп аталады Студенттік коэффициент, сенімділік интервалының мәнін орташа арифметикалық орташа квадраттық қатенің түбірлік бөліктерімен береді.
Бұл шаманың ықтималдық таралуы σ 2-ге тәуелді емес, бірақ мәні бойынша тәжірибелер санына байланысты. n.Эксперимент санының көбеюімен nСтуденттік үлестірім Гаусс үлестіріміне бейім.
Бөлу функциясы кесте түрінде берілген (1-кесте). Студент коэффициентінің мәні өлшемдер санына сәйкес келетін сызықтың қиылысында n, және α сенімділік деңгейіне сәйкес баған