आलेख हा शिरोबिंदू V चा मर्यादित संच आणि शिरोबिंदूंच्या जोड्यांचा जोडणारा किनार R चा संच आहे, G=(V,R). V आणि R संचांची मुख्यत्वे N आणि M सारखी आहेत. किनार्यांचा संच रिकामा असू शकतो. शिरोबिंदूची उदाहरणे ही कोणत्याही स्वरूपाची वस्तू (वस्ती, संगणक नेटवर्क) आहेत. किनार्यांची उदाहरणे म्हणजे रस्ते, बाजू, रेषा.
काठाने जोडलेल्या शिरोबिंदूंना समीप म्हणतात. सामान्य शिरोबिंदू असलेल्या कडांना समीप देखील म्हणतात. एक किनार आणि त्याच्या दोन शिरोबिंदूंपैकी कोणत्याहीला घटना म्हणतात. शिरोबिंदूची डिग्री म्हणजे त्याच्याशी संबंधित कडांची संख्या. प्रत्येक आलेख समतल भागाशी संबंधित असलेल्या बिंदूंच्या संचाद्वारे दर्शविला जाऊ शकतो, जे किनार्यांशी संबंधित रेषांनी जोडलेले आहेत.
आलेख पथ हा शिरोबिंदू आणि कडांचा क्रम आहे. जर प्रारंभ आणि शेवटचे शिरोबिंदू समान असतील तर मार्ग बंद (चक्रीय) आहे. सर्व शिरोबिंदू आणि कडा वेगळे असल्यास मार्ग हा एक सोपा मार्ग आहे. प्रत्येक शिरोबिंदू इतर कोणत्याही वरून पोहोचण्यायोग्य असल्यास आलेख जोडला जातो. ज्या शिरोबिंदूंना प्रसंगाच्या कडा नसतात त्यांना विलग म्हणतात.
घटना मॅट्रिक्स
संप्रेषण याद्या
फास्यांची यादी
आलेखाच्या कनेक्ट केलेल्या भारित अनिर्देशित आलेखाचे संलग्नता मॅट्रिक्स
कमीत कमी वजनाच्या स्पॅनिंग जोडलेल्या झाडाचे बांधकाम. क्रुस्कलचे अल्गोरिदम आलेखावरून सर्व कडा काढून टाकल्या जातात, आणि एक पसरलेला सबग्राफ प्राप्त होतो, जेथे सर्व शिरोबिंदू वेगळे केले जातात. प्रत्येक शिरोबिंदू सिंगलटन उपसंच मध्ये ठेवला आहे. कडा वजनाच्या चढत्या क्रमाने लावल्या जातात. कडा क्रमाक्रमाने, त्यांच्या वजनाच्या चढत्या क्रमाने, पसरलेल्या झाडामध्ये समाविष्ट केल्या जातात.
4 प्रकरणे आहेत: 1) समाविष्ट केलेल्या काठाचे दोन्ही शिरोबिंदू एक-घटक उपसंचांचे आहेत, नंतर ते एका नवीन, कनेक्ट केलेल्या उपसमूहात एकत्र केले जातात; 2) शिरोबिंदूंपैकी एक कनेक्ट केलेल्या उपसमूहाचा आहे, आणि दुसरा नाही, तर आम्ही दुसरा ज्या उपसंचाचा पहिला आहे त्यामध्ये समाविष्ट करतो; 3) दोन्ही शिरोबिंदू वेगवेगळ्या जोडलेल्या उपसंचांचे आहेत, नंतर आम्ही उपसंच एकत्र करतो; 4) दोन्ही शिरोबिंदू एकाच जोडलेल्या उपसमूहाचे आहेत, नंतर आम्ही हा किनारा वगळतो.
आलेखासाठी कमीत कमी वजनाचे स्पॅनिंग ट्री बनवण्याचे उदाहरण GG परफॉर्म केलेल्या क्रिया शिरोबिंदूंचा संच आलेख 1 विलग आणि शिरोबिंदूंसह पसरलेला सबग्राफ तयार करा आम्हाला 5 सिंगलटन उपसंच मिळतात: (V 1 ), (V 2 ), (V 3 ), (V 4 ), (V 5 ) 2किमान वजनाचा किनारा शोधा (R 15) आणि तो स्पॅनिंग सबग्राफमध्ये जोडा शिरोबिंदूंचा जोडलेला उपसंच तयार करा: (V 1,V 5 ). उपसंच जतन करा (V 2), (V 3), (V 4 )
सादर केलेल्या क्रिया शिरोबिंदूंचा संच आलेख 3 उरलेल्यांपैकी, किमान वजनाचा किनारा शोधा (R 45) आणि तो स्पॅनिंग सबग्राफमध्ये जोडा. कनेक्ट केलेल्या सबसेटमध्ये शिरोबिंदू जोडा: (V 1,V 5, V 4 ). आम्ही उपसंच (V 2 ), (V 3 ) 4 उरलेल्यांमध्ये सेव्ह करतो, किमान वजनाचा किनारा (R 23) शोधा आणि तो स्पॅनिंग सबग्राफमध्ये जोडून शिरोबिंदूंचा नवीन जोडलेला उपसंच तयार करा: (V 2, V 3 ) . आम्ही पहिला कनेक्ट केलेला उपसंच (V 1, V 5, V 4 ) ठेवतो.
सादर केलेल्या क्रिया शिरोबिंदूंचा संच आलेख 5 उरलेल्यांपैकी, किमान वजनाचा किनारा (R 25) शोधा आणि तो स्पॅनिंग सबग्राफमध्ये जोडा. उपसंच एका जोडलेल्या उपसंचात एकत्र करा (V 1,V 5, V 4,V 2,V 3 ). 6 उर्वरित कडा आलेखामध्ये समाविष्ट नाहीत, कारण त्यांचे सर्व शिरोबिंदू आधीपासून समान जोडलेल्या संचाशी संबंधित आहेत.
सादर केलेल्या क्रिया शिरोबिंदूंचा संचग्राफ 7A आलेख प्राप्त झाला आहे, जो: एक पसरलेला आलेख आहे (सर्व शिरोबिंदू समाविष्ट आहेत); जोडलेले (सर्व शिरोबिंदू मार्गांद्वारे जोडले जाऊ शकतात); झाड (चक्र नाही); किमान वजन आहे. 8 परिणामी पसरलेल्या झाडाचे किमान वजन आहे: R 12 +R 25 +R 15 +R 45 = =80 9 आलेख G ची चक्रीय संख्या γ=m-n+1=8-5+1=4 आहे, जी त्याच्याशी संबंधित आहे झाडावर नसलेल्या कडांची संख्या.
व्हेरिएबल्स घोषित करणे आलेख व्हर्टेक्स निर्देशांक संचयित करण्यासाठी दोन पंच-घटक पूर्णांक अॅरे X आणि Y किमान वजन
5 आलेख शिरोबिंदूंच्या यादृच्छिक निर्देशांकांची निर्मिती (i वर लूप). कंप्युटिंग एज वेट्स. वेटेड डायग्राफचे समीप मॅट्रिक्स आउटपुट करणे (n आणि k मध्ये नेस्टेड लूप) भारित अनिर्देशित आलेखाचे संलग्नक मॅट्रिक्स आउटपुट करणे - प्रारंभिक मॅट्रिक्सच्या घटकांचा अर्धा भाग (प्रारंभिक मूल्य k=n+1) प्रोग्राम बॉडी
उपकरणे:
- आधुनिक तंत्रज्ञानाने सुसज्ज संगणक वर्ग, व्हिडिओ प्रोजेक्टर, स्क्रीन;
- Windows XP, Microsoft Office 2003 PowerPoint प्रोग्राम असलेले संगणक;
- व्हाईटबोर्ड उपकरणे (धडा विषय, नवीन अटी). हँडआउट.
धडा योजना.
II. नवीन साहित्याचे सादरीकरण. (१० मि.)
III. साहित्य फिक्सिंग. व्यावहारिक काम. (१५-२० मि.)
IV. धड्याचा सारांश. (2 मि)
V. गृहपाठ.
I. संघटनात्मक क्षण. नॉलेज अपडेट.
नमस्कार! आमच्या धड्याला "आलेख" म्हणतात. आम्ही "ग्राफ" च्या संकल्पनेशी परिचित होऊ, त्यांचे चित्रण कसे करावे आणि या विषयावरील समस्यांचे निराकरण कसे करावे ते शिकू.
II नवीन सामग्रीचे सादरीकरण.
आलेख सिद्धांतावरील पहिले काम लिओनहार्ड यूलर (1736) यांचे आहे, जरी "ग्राफ" हा शब्द प्रथम हंगेरियन गणितज्ञ दिनेश कोनिग यांनी 1936 मध्ये सादर केला. आलेखांना बिंदू आणि सरळ रेषा किंवा या बिंदूंना जोडणार्‍या वक्रांचे विभाग असलेल्या योजना असे म्हणतात (आकृती 1 मध्ये आलेखांची उदाहरणे दर्शविली आहेत)
आलेखांच्या मदतीने, ज्ञानाच्या विविध क्षेत्रांमध्ये तयार केलेल्या समस्यांचे निराकरण अनेकदा सरलीकृत केले गेले: ऑटोमेशन, इलेक्ट्रॉनिक्स, भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र इत्यादींमध्ये. आलेखांच्या मदतीने, रस्ते, गॅस पाइपलाइन, उष्णता आणि उर्जा नेटवर्कचे आरेखन चित्रित केले आहे. . आलेख गणिती आणि आर्थिक समस्या सोडवण्यास मदत करतात.
आलेख - (ग्रीक ग्राफोमधून - मी लिहितो) हे त्यांच्यामधील कनेक्शनच्या ऑब्जेक्टच्या घटकांचे दृश्य प्रतिनिधित्व करण्याचे साधन आहे. या अद्भूत गणितीय वस्तू आहेत, त्यांच्या मदतीने तुम्ही बर्‍याच भिन्न, बाह्यतः भिन्न समस्या सोडवू शकता.
आलेख हे काही माहितीचे मॉडेल आहे
आलेखामध्ये शिरोबिंदू किंवा नोड्स असतात जे आर्क्स किंवा सेगमेंट्स - कडांनी जोडलेले असतात. रेषा निर्देशित केली जाऊ शकते, म्हणजे, एक बाण (चाप), निर्देशित नसल्यास - एक धार. कंस किंवा काठाने जोडलेल्या दोन शिरोबिंदूंना समीप म्हणतात.
आलेखांची उदाहरणे (स्लाइड 4, 5, 6)
कार्य 1 (स्लाइड 7):
सूर्यमालेतील नऊ ग्रहांमध्ये अंतराळ संपर्क प्रस्थापित झाला आहे. नियमित रॉकेट खालील मार्गांवर उडतात:
पृथ्वी - बुध; प्लुटो - शुक्र; पृथ्वी - प्लूटो; प्लुटो - बुध; बुध - शुक्र; युरेनस - नेपच्यून; नेपच्यून - शनि; शनि - गुरू; बृहस्पति - मंगळ; मंगळ - युरेनस.
पृथ्वीपासून मंगळावर नियमित रॉकेटवर उड्डाण करणे शक्य आहे का?
ऊत्तराची: स्थितीचा एक आकृती काढू: आपण ठिपके असलेले ग्रह आणि रेषांसह रॉकेटचे मार्ग चित्रित करू.
आता हे लगेच स्पष्ट झाले आहे की पृथ्वीवरून मंगळावर उड्डाण करणे अशक्य आहे.
कंस किंवा काठाने जोडलेल्या दोन शिरोबिंदूंना समीप म्हणतात. प्रत्येक धार किंवा चाप एका संख्येशी संबंधित आहे. संख्या सेटलमेंटमधील अंतर, एका शिखरावरून दुसर्‍या शिखरावर संक्रमणाची वेळ इत्यादी दर्शवू शकते.
कार्य 2 (स्लाइड 9) - समाधान ब्लॅकबोर्डवर आहे. माशा प्राणीसंग्रहालयात आली आणि शक्य तितके प्राणी पाहू इच्छित आहेत. तिने कोणता मार्ग स्वीकारावा? पिवळा, लाल, हिरवा?
कार्य 3 (11 स्लाइड) - समाधान ब्लॅकबोर्डवर आहे. A, B, C, D, E या पाच फुटबॉल संघांनी एकमेकांशी सामने खेळले पाहिजेत. आधीच B, C, D सह A खेळला आहे; B c A, C, D. आतापर्यंत किती सामने खेळले गेले आहेत? किती खेळायचे बाकी आहे?
आलेख प्रतिनिधित्व (स्लाइड 12)
आलेख आर्क्सची सूची (AB; 7), ग्राफिकली किंवा टेबल वापरून दर्शविला जाऊ शकतो.
| आर्क याद्या | ग्राफिक फॉर्म | सारणी फॉर्म | ||||||||||||||||
| (AB; 7), |  |
|
III. सामग्रीचे एकत्रीकरण: विद्यार्थ्यांना गटांमध्ये विभागण्यासाठी आणि कार्ये पूर्ण करण्यासाठी आमंत्रित केले जाते. एका लहान गटात काम करताना, विद्यार्थी धड्याच्या सुरुवातीला मिळालेल्या सैद्धांतिक ज्ञानावर आधारित मॉडेल्सची चर्चा करतात. अशा प्रकारे, सामग्रीची पुनरावृत्ती आणि एकत्रीकरण प्राप्त होते.
कार्य 2 (स्लाइड 13)
IV. धडा सारांश
मित्रांनो, आज तुम्ही कोणते नवीन शब्द शिकलात? (गणना, आलेख शिरोबिंदू, आलेख कडा.)
आलेखाचे शिरोबिंदू काय दर्शवू शकतात? (शहरे; वस्तू ज्या; जोडलेल्या आहेत.)
आलेखाच्या कडांचा अर्थ काय आहे (पथ, हालचाली, दिशानिर्देश)
जीवनात आपण त्यांना कुठे भेटू शकतो याचे उदाहरण द्या?
आलेख कसे प्रदर्शित केले जातात?
V. गृहपाठ. (स्लाइड १५)
1 स्लाइड
2 स्लाइड
प्रथमच, आलेख सिद्धांताचा पाया लिओनहार्ड यूलर (1707-1783; स्विस, जर्मन आणि रशियन गणितज्ञ) यांच्या कार्यात दिसून आला, ज्यामध्ये त्यांनी कोडी आणि गणितीय मनोरंजन समस्यांचे निराकरण केले. आलेख सिद्धांताची सुरुवात यूलरने कोनिग्सबर्गच्या सात पुलांच्या समस्येचे निराकरण करून केली.
3 स्लाइड
बर्‍याच काळापासून, कोनिग्सबर्गच्या रहिवाशांमध्ये असे कोडे पसरवले गेले आहे: सर्व पुलांवरून (प्रीगोल्या नदीच्या पलीकडे) दोनदा न जाता त्यांच्यापैकी एकातून कसे जावे? अनेकांनी सैद्धांतिक आणि व्यावहारिकदृष्ट्या या समस्येचे निराकरण करण्याचा प्रयत्न केला. पण हे कोणीच करू शकले नाही, पण सैद्धांतिकदृष्ट्याही ते अशक्य आहे हे कोणी सिद्ध करू शकलेले नाही. सरलीकृत आकृतीवर, शहराचे काही भाग (ग्राफ) रेषा असलेल्या पुलांशी संबंधित आहेत (ग्राफचे आर्क), आणि शहराचे काही भाग रेषांच्या जोडणीच्या बिंदूंशी संबंधित आहेत (ग्राफचे शिरोबिंदू). तर्क करताना, यूलर खालील निष्कर्षांवर पोहोचला: सर्व पुलांवरून दोनदा गेल्याशिवाय सर्व पुलांवरून जाणे अशक्य आहे.
4 स्लाइड
रक्ताचे 4 प्रकार आहेत. जेव्हा एका व्यक्तीकडून दुसऱ्या व्यक्तीला रक्त चढवले जाते तेव्हा सर्व गट एकमेकांशी सुसंगत नसतात. परंतु हे ज्ञात आहे की समान गटांना व्यक्तीपासून व्यक्तीमध्ये रक्तसंक्रमण केले जाऊ शकते, म्हणजे. 1 - 1, 2 - 2, इ. आणि गट 1 देखील इतर सर्व गटांमध्ये, गट 2 आणि 3 फक्त गट 4 मध्ये हस्तांतरित केला जाऊ शकतो. एक कार्य.
5 स्लाइड
6 स्लाइड
आलेख एक आलेख ग्राफिकल स्वरूपात सादर केलेले एक माहिती मॉडेल आहे. आलेख हा कडांनी जोडलेला शिरोबिंदू (नोड्स) चा संच आहे. सहा शिरोबिंदू आणि सात कडा असलेला आलेख. शिरोबिंदू एका काठाने जोडलेले असल्यास त्यांना समीप म्हटले जाते.
7 स्लाइड
निर्देशित आलेख - डायग्राफ प्रत्येक काठाला एक दिशा असते. अशा कडांना आर्क्स म्हणतात. निर्देशित आलेख
8 स्लाइड
भारित आलेख हा एक आलेख आहे ज्याच्या कडा किंवा आर्क्स संख्यात्मक मूल्ये नियुक्त केली आहेत (ते दर्शवू शकतात, उदाहरणार्थ, शहरांमधील अंतर किंवा वाहतुकीची किंमत). आलेखाचे वजन त्याच्या कडांच्या वजनाच्या बेरजेइतके असते. टेबल (याला वजन मॅट्रिक्स म्हणतात) आलेखाशी संबंधित आहे. 1 2 4 2 3 A B C D E
9 स्लाइड
टास्क रोड सेटलमेंट्स A, B, C, D, E, F मध्ये बांधलेले आहेत, ज्याची लांबी टेबलमध्ये दर्शविली आहे. (सारणीमध्ये संख्या नसणे म्हणजे बिंदूंमधील थेट रस्ता नाही). बिंदू A आणि F मधील सर्वात लहान मार्गाची लांबी निश्चित करा (हे गृहीत धरून की आपण फक्त बांधलेल्या रस्त्यांवरून जाऊ शकता). 1) 9 2) 10 3) 11 4) 12
10 स्लाइड
1. 2. 3. 4. 5. सर्वात लहान मार्ग A-B-C-E-F ची लांबी 9 2 4 2 4 7 1 2 4 7 1 3 4 2 4 7 1 3 4 3 2 4 7 1 3 4 3 2 आहे
कोरोबोवा अनास्तासिया, विद्यार्थी जी.आर. 14-PGS-48D
आमच्या काळात, विविध पद्धती, गुणधर्म आणि गैर-मानक अनुप्रयोगांचा अभ्यास करणे महत्त्वाचे आहे. आपण आपल्या सभोवतालच्या वास्तवात "ग्राफ" पद्धतीच्या वापराचा विचार करू.
गणितातील "ग्राफ" या शब्दाचा अर्थ असे चित्र आहे जिथे अनेक बिंदू काढले जातात, त्यातील काही रेषांनी जोडलेले असतात. सर्व प्रथम, हे सांगण्यासारखे आहे की ज्या संख्येवर चर्चा केली जाईल, त्यांचा भूतकाळातील अभिजात वर्गाशी काहीही संबंध नाही. आमचे "ग्राफ" हे ग्रीक शब्द "ग्राफो" पासून आले आहेत, ज्याचा अर्थ "मी लिहितो." "ग्राफ", "चरित्र" या शब्दांमध्ये समान मूळ.
आलेख सिद्धांतावरील पहिले काम लिओनहार्ड यूलरचे आहे आणि ते सेंट पीटर्सबर्ग अकादमी ऑफ सायन्सेसच्या प्रकाशनांमध्ये 1736 मध्ये दिसून आले.
संख्या पूर्ण:
भौतिकशास्त्रात - इलेक्ट्रिकल सर्किट्सच्या बांधकामात
रसायनशास्त्र आणि जीवशास्त्रात - त्यांच्या साखळींच्या रेणूंच्या अभ्यासात
इतिहासात - कौटुंबिक झाडे संकलित करताना (वंशावली)
भूगोल मध्ये - मॅपिंग मध्ये
भूमितीमध्ये - बहुभुज, पॉलिहेड्रा, अवकाशीय आकृत्यांची रेखाचित्रे
अर्थशास्त्रात - मालवाहतुकीच्या प्रवाहासाठी (एअरलाइन्स, मेट्रो, रेल्वे) इष्टतम मार्ग निवडण्याच्या समस्या सोडवताना
गणितीय ऑलिम्पियाड्सची कार्ये सोडवण्यासाठी आलेख सिद्धांत वापरला जातो. आलेख समस्येच्या परिस्थितीला दृश्यमानता देतात, उपाय सुलभ करतात आणि समस्यांची समानता प्रकट करतात.
आता विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाच्या कोणत्याही शाखेत तुम्हाला आलेख भेटतात.
डाउनलोड करा:
पूर्वावलोकन:
सादरीकरणांचे पूर्वावलोकन वापरण्यासाठी, एक Google खाते (खाते) तयार करा आणि साइन इन करा: https://accounts.google.com
स्लाइड मथळे:
गणित विषयातील सादरीकरण: 14-PGS-48D कोरोबोवा अनास्तासिया या गटाच्या विद्यार्थ्याने "ग्राफ" पूर्ण केले
आलेख ही एक आकृती आहे ज्यामध्ये या बिंदूंना जोडणारे बिंदू आणि रेषा असतात. रेषांना आलेखाच्या कडा म्हणतात आणि बिंदूंना शिरोबिंदू म्हणतात. ज्या शिरोबिंदूंमधून सम संख्येच्या कडा निघतात त्यांना सम म्हणतात, विषम संख्येला विषम म्हणतात. आलेख आलेख सिद्धांत उदाहरणे
लिओनहार्ड यूलर (एप्रिल ४, १७०७, बासेल, स्वित्झर्लंड - ७ सप्टेंबर १७८३, सेंट पीटर्सबर्ग, रशियन साम्राज्य) हे एक स्विस, जर्मन आणि रशियन गणितज्ञ होते ज्यांनी गणित, तसेच यांत्रिकी, भौतिकशास्त्राच्या विकासात महत्त्वपूर्ण योगदान दिले. खगोलशास्त्र आणि अनेक उपयोजित विज्ञान. यूलर हे गणितीय विश्लेषण, विभेदक भूमिती, संख्या सिद्धांत, अंदाजे गणना, खगोलीय यांत्रिकी, गणितीय भौतिकशास्त्र, ऑप्टिक्स, बॅलिस्टिक्स, जहाज बांधणी, संगीत सिद्धांत इत्यादींवरील 800 हून अधिक पेपरचे लेखक आहेत.
कागदावरून पेन्सिल न उचलता काढता येणारी आकृती (ग्राफ) युनिकर्सल असे म्हणतात. पॅटर्न 1. कागदावरुन पेन्सिल न उचलता फक्त दोन विषम शिरोबिंदू असलेला आलेख काढता येतो, तर हालचाल या विचित्र शिरोबिंदूंपैकी एका शिरोबिंदूपासून सुरू होऊन त्यांच्या दुसऱ्या टोकाला संपली पाहिजे. (Fig. A) नमुना 2 . दोनपेक्षा जास्त विषम शिरोबिंदू असलेला आलेख “एक स्ट्रोक” ने काढता येत नाही (चित्र ब) यूलर आलेख B A
नमुना 3. आलेखाचे सर्व शिरोबिंदू सम असल्यास, कागदावरून पेन्सिल न उचलता, प्रत्येक काठावर फक्त एकदाच रेखाचित्र काढा, हा आलेख काढा. हालचाली कोणत्याही शिरोबिंदूपासून सुरू होऊ शकतात आणि त्याच शिरोबिंदूवर समाप्त होऊ शकतात.
बर्‍याच काळापासून, कोनिग्सबर्गच्या रहिवाशांमध्ये असे कोडे पसरले आहे: सर्व पुलांवरून (प्रीगोल्या नदीच्या पलीकडे) दोनदा न जाता त्यामधून कसे जावे? अनेकांनी सैद्धांतिक आणि व्यावहारिकदृष्ट्या या समस्येचे निराकरण करण्याचा प्रयत्न केला, चालताना कोनिग्सबर्ग पुलांची समस्या.
हा एक आलेख आहे ज्यामध्ये काही कडा निर्देशित केल्या जाऊ शकतात आणि काही अनिर्देशित असू शकतात. मिश्र संख्या
भारित आलेख 1 2 4 2 3 A B C D E
झाड हा कोणताही जोडलेला आलेख आहे ज्यामध्ये चक्र नाही. झाडे झाडे
हा एक (मल्टी) आलेख आहे ज्याच्या कडांना दिशा दिली आहे. निर्देशित कडांना आर्क्स देखील म्हणतात. निर्देशित आलेख
संख्या पूर्ण:
गणितीय ऑलिम्पियाड्सची कार्ये सोडवण्यासाठी आलेख सिद्धांत वापरला जातो. आलेख समस्येच्या परिस्थितीला दृश्यमानता देतात, उपाय सुलभ करतात आणि समस्यांची समानता प्रकट करतात. आता विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाच्या कोणत्याही शाखेत तुम्हाला आलेख भेटतात.
आपण लक्ष दिल्याबद्दल धन्यवाद!