«Задачи по комбинаторике» - Сколькими способами можно выбрать одну книгу. Сколькими способами можно сформировать экипаж корабля, состоящий из командира и инженера? Комбинаторика. Задача № 2. К. Правило сложения Правило умножения. Правило суммы. Решение: 30 + 40 = 70 (способами). Задача №1. Задача № 3. И. Пусть существует три кандидата на пост командира и 2 на пост инженера.
«Размещение элементов» - Комбинаторика. Размещение. Размещение и сочитание. Формулы: Для любых натуральных чисел n и k где n>k,справедливы равенства: Для числа выборов двух элементов из n данных: Сочетание. В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов.
«Статистические характеристики» - Математическая статистика и т.д.. Статистические исследования. 5. Что такое статистика? 3. 9. Среднее арифметическое Размах Мода Медиана. Этапы исследовательской деятельности. 2. 14. « Есть три вида лжи: обычная ложь, наглая ложь и статистическая. ».
«Комбинации» - Имеются буквы А,В,С,Д. составить все комбинации только из двух букв. Самостоятельная работа состояла из 2 заданий. Задачу правильно решили 13 уч., а пример-17. не справились с работой 3 ученика. Комбинаторные задачи. Задача №1. Сколько учеников успешно решили самостоятельную работу. Работу писали 30 уч.
«Перестановки элементов» - Прямой алгоритм лексикографического перебора перестановок. Комбинаторика. Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности. Нумерация множества. Формальное описание алгоритма. Перестановки. Теорема о лексикографическом переборе перестановок. Перебор перестановок. Перебор перестановок элементарными транспозициями.
«Комбинаторика 9 класс» - Из 30 участников собрание надо выбрать председателя и секретаря. Решение: а) 3! = 1 · 2 · 3 =6 б) 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. II. Обозначение: P n Ф ормула для вычисления перестановок: P n = A6 10 =n ·(n -1) · (n-2) · … · 3 · 2 · 1=n! 2-я группа. Обозначение: Формула для вычисления сочетаний: *. Ответы и решения. 2-я группа.
Всего в теме 25 презентаций
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Сочетания
Сочетания Число всех выборов n элементов из m данных без учёта порядка называют числом сочетаний из m элементов по n . Все сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом; Порядок элементов здесь не существенен; Разница между сочетанием и размещением заключается в том, что если в размещении переставить местами элементы, то получится другое размещение, но сочетание не зависит от порядка входящих в него элементов.
Сочетания Число всех выборов n элементов из m данных без учёта порядка называют числом сочетаний из m элементов по n . Найдите: Число сочетаний из 6 по 3: Число сочетаний из 4 по 4:
Задача №1 Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать? Решение: Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов - Петров или Петров - Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.
Задача №2. У Минотавра в лабиринте томятся 25 пленников. а)Сколькими способами он может выбрать себе трёх из них на завтрак, обед и ужин? б)А сколько существует способов, чтобы отпустить трёх пленников на свободу? Решение: А) Порядок важен. Б) Порядок не важен
Задача №3 В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу, второй - сходить за мелом, третий - пойти дежурить в столовую; б) им следует спеть хором? 6
Сколькими различными способами из семи участников математического кружка можно составить команду из двух человек для участия в олимпиаде? Задача №4
Задача №5 В отделе работают 5 ведущих и 8 старших сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и двух старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор?
Из перетасованной колоды, состоящей из 36 карт, наугад взяты 4 карты. Какова вероятность того, что все взятые карты тузы? Задача №6
Задача №7 В партии из 50 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу четыре детали. Определить, какова вероятность того, что все 4 детали окажутся бракованными. Всего исходов: Благоприятных исходов: Вероятность.
Слайд 2
Сочетания
Определение 1 Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность попарно различных k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов. Другими словами k-сочетание – это k-элементное подмножество n элементного множества. Пример. Дано множество. Составим 2- сочетания:
Слайд 3
Теорема 1 Число k- сочетаний n-элементного множества вычисляется по формуле Доказательство. Из каждого k-сочетания, переставляя его элементы всевозможными способами, получим k! размещений. Значит, Отсюда
Слайд 4
Пример
Сколькими способами можно выбрать 3 плитки шоколада из имеющихся 5 плиток? Решение. Задача сводится к вычислению числа сочетаний из 5 по 3
Слайд 5
Свойства сочетаний
1) Доказательство: 2) Доказательство:
Слайд 6
3) Доказательство: 4) Доказательство:
Слайд 7
Бином Ньютона
Доказательство. Доказательство поведем индукцией по n. Базис индукции. При n=1 бином Ньютона имеет вид Упростив выражение, получим верное равенство 2) Индуктивное предположение. Допустим при n=t выполняется равенство
Слайд 8
3)Индуктивный переход. Докажем, что при n=t+1 выполняется равенство Для этого домножим в равенстве индуктивного предположения левую и правую части на. Получим
Слайд 9
Раскроем скобки в правой части равенства Приведем подобные Используем свойства числа сочетаний
Слайд 10
Следствия из бинома Ньютона
получается из бинома Ньютона при получается из бинома Ньютона при 1)Равенство 2) Равенство
Слайд 11
Сочетания с повторениями
Слайд 12
Сочетание с повторениями
Определение 1 Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов. Пример:Дано множествоА= . Составим 2- сочетания с повторениями:
Слайд 13
Число сочетаний с повторениями
Теорема1. Число k-сочетание с повторениями n – элементного множества вычисляется по формуле Доказательство. Лемма. Количество упорядоченных наборов из 0 и 1 длины n, состоящих из k единиц равно. Доказательство Леммы. Упорядоченный набор из 0 и 1 однозначно определяется выбором мест для единиц. Число различных вариантов выбора k мест для единиц вычисляется по формуле Лемма доказана.
Слайд 14
Строим k-сочетания с повторениями из элементов множества В каждом таком наборе сначала расположим элементы типа, затем типа,и так далее. Каждому k-сочетанию с повторениями поставим в соответствие последовательность из 0 и 1 длины n+k-1, число единиц в этой последовательности равно k, число нулей n-1. Каждый 0 отделяет наборы различных типов. Каждое k-сочетание с повторениями однозначно определяет указанную последовательность и наоборот. По лемме таких последовательностей существует. Значит,
Слайд 15
Пример
В магазине продаются пирожные 4 сортов. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Решение. Используем формулу числа сочетаний с повторениями, так как покупка будет содержать пирожные повторяющихся сортов.
Слайд 16
Сводная таблица
Слайд 17
Решение задач
Слайд 18
Задачи
1) В почтовом отделении продают 5 видов интернет-карт. Сколькими способами можно купить в нем 3 различные карты? Сколькими способами можно купить 3 карты? Решение. Ответ на первый вопрос получим с помощью формулы числа сочетаний без повторений, так как карты различные На второй вопрос ответим, используя формулу числа сочетаний с повторениями, так как не сказано, что карты различных видов, значит виды карт могут повторяться
Слайд 19
2)В классе 8 мальчиков и 9 девочек. Сколькими способами можно выбрать группу детей, состоящей из 4 мальчиков и 3 девочек? Решение. Четырех мальчиков выберем из 8, троих девочек – из 9. По правилу умножения получим
Слайд 20
3)Используя бином Ньютона, раскрыть скобки. Решение.
Слайд 21
4)Сколькими способами можно раздать 6 одинаковых апельсинов между тремя детьми? Решение. Так как апельсины одинаковые, их вообще нельзя использовать в качестве 6 различных элементов множества. Рассмотрим множество, состоящее из троих детей. Будем выбирать детей для апельсинов. Используем формулу числа сочетаний с повторениями, так как одному ребенку может достаться несколько апельсинов, а может не достаться ни одного.
Слайд 22
5)Сколькими способами можно распределить 5 одинаковых принтеров, 3 телефонных аппарата, 7 мониторов между 4 фирмами? Решение. Распределим сначала принтеры, затем телефонные аппараты, и, наконец, мониторы. Используя правило умножения, получим
Слайд 23
6) Сколькими способами можно закодировать дверь, если она открывается при одновременном нажатии определенного количества различных цифр? Код может состоять из 1, или 2, или …,или 10 цифр. Для однозначного кода различных вариантов существует, для двузначного, …, для десятизначного. По правилу сложения получим Использовали следствие из бинома Ньютона.
Слайд 24
Вопросы: Сравнить выражения Си А Вычислить С k n n k 8 2
Посмотреть все слайды