Korobova Anastasija, studente gr. 14-PGS-48D
Mūsu laikā ir svarīgi pētīt dažādas metodes, īpašības un nestandarta lietojumus. Apskatīsim "Grafa" metodes pielietojumu apkārtējā realitātē.
Vārds "grafiks" matemātikā nozīmē attēlu, kurā ir uzzīmēti vairāki punkti, no kuriem daži ir savienoti ar līnijām. Pirmkārt, ir vērts teikt, ka grāfiem, par kuriem tiks runāts, nav nekāda sakara ar pagātnes aristokrātiem. Mūsu "grafiki" ir atvasināti no grieķu vārda "grapho", kas nozīmē "es rakstu". Tā pati sakne vārdos "grafiks", "biogrāfija".
Pirmais darbs par grafu teoriju pieder Leonhardam Eileram, un tas parādījās 1736. gadā Sanktpēterburgas Zinātņu akadēmijas publikācijās.
Skaiti sanāk:
fizikā - elektrisko ķēžu būvniecībā
ķīmijā un bioloģijā - to ķēžu molekulu izpētē
vēsturē - sastādot ciltskokus (ciltsrakstu)
ģeogrāfijā - kartēšanā
ģeometrijā - daudzstūru, daudzskaldņu, telpisku figūru rasējumi
ekonomikā - risinot problēmas, izvēloties optimālo ceļu kravu transporta plūsmām (aviokompānijas, metro, dzelzceļš)
Grafu teorija tiek izmantota matemātikas olimpiāžu uzdevumu risināšanā. Grafiki sniedz pārskatāmību par problēmas apstākļiem, vienkāršo risinājumu un atklāj problēmu līdzību.
Tagad jebkurā zinātnes un tehnoloģiju nozarē jūs saskaraties ar grafikiem.
Lejupielādēt:
Priekšskatījums:
Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumu, izveidojiet Google kontu (kontu) un pierakstieties: https://accounts.google.com
Slaidu paraksti:
Prezentācija matemātikā Tēma: "Grafi" Aizpildīja 14-PGS-48D grupas skolniece Korobova Anastasija
Grafiks ir figūra, kas sastāv no punktiem un līnijām, kas savieno šos punktus. Līnijas sauc par grafa malām, bet punktus par virsotnēm. Virsotnes, no kurām rodas pāra skaits malu, sauc par pāra, nepāra skaitli par nepāra. Grafu grafikas teorijas piemēri
Leonhards Eilers ( 1707 . gada 4. aprīlis , Bāzele , Šveice — 1783 . gada 7. septembris Sanktpēterburga , Krievijas impērija ) bija Šveices, Vācijas un Krievijas matemātiķis, devis nozīmīgu ieguldījumu matemātikas, kā arī mehānikas, fizikas, astronomija un vairākas lietišķās zinātnes. Eilers ir vairāk nekā 800 rakstu autors par matemātisko analīzi, diferenciālo ģeometriju, skaitļu teoriju, aptuveniem aprēķiniem, debess mehāniku, matemātisko fiziku, optiku, ballistiku, kuģu būvi, mūzikas teoriju utt.
Figūru (grafiku), kuru var uzzīmēt, nepaceļot zīmuli no papīra, sauc par vienkursu. Pattern 1. Grafiku, kuram ir tikai divas nepāra virsotnes, var uzzīmēt, nepaceļot zīmuli no papīra, savukārt kustībai jāsākas no vienas no šīm nepāra virsotnēm un jābeidzas otrajā no tām. (Att. A) 2. modelis. Grafu ar vairāk nekā divām nepāra virsotnēm nevar uzzīmēt ar “vienu gājienu” (B att.). Eilera grafiki B A
Raksts 3. Ja visas grafika virsotnes ir pāra, tad, nepaceļot zīmuli no papīra, zīmējot pa katru malu tikai vienu reizi, uzzīmējiet šo grafiku. Kustība var sākties no jebkuras virsotnes un beigties tajā pašā virsotnē.
Jau ilgu laiku Kēnigsbergas iedzīvotāju vidū ir izplatīta šāda mīkla: kā iziet cauri visiem tiltiem (pāri Pregoljas upei), nešķērsojot nevienu no tiem divreiz? Šo problēmu gan teorētiski, gan praktiski daudzi mēģināja atrisināt pastaigu laikā Kēnigsbergas tiltu problēma.
Šis ir grafiks, kurā dažas malas var būt vērstas un dažas var būt nevirzītas. Jauktais skaits
Svērtais grafiks 1 2 4 2 3 A B C D E
Koks ir jebkurš savienots grafiks, kuram nav ciklu. Koki Koki
Šis ir (multi)grāfs, kura malām ir piešķirts virziens. Virzītas malas sauc arī par lokiem. Virzīts grafiks
Skaiti sanāk:
Grafu teorija tiek izmantota matemātikas olimpiāžu uzdevumu risināšanā. Grafiki sniedz pārskatāmību par problēmas apstākļiem, vienkāršo risinājumu un atklāj problēmu līdzību. Tagad jebkurā zinātnes un tehnoloģiju nozarē jūs saskaraties ar grafikiem.
Paldies par jūsu uzmanību!
Lai skatītu prezentāciju ar attēliem, dizainu un slaidiem, lejupielādējiet tā failu un atveriet to programmā PowerPoint savā datorā.
Prezentācijas slaidu teksta saturs: Grafiki un to pielietojums uzdevumu risināšanā Saturs Kas ir grafsGrafa īpašībasGrafu rašanās vēstureKēnigsbergas tiltu problēma Grafu pielietojums Secinājumi Kas ir grafs Matemātikā grafa definīcija tiek dota šādi: Grafs ir netukšs. punktu kopa un segmentu kopa, kuru abi gali pieder pie dotās punktu kopas Punktus sauc par grafa virsotnēm, bet savienojošās līnijas ir malas. Grafa malas Grafa virsotnes Nākamais Kas ir grafs Malu skaitu, kas iziet no grafa virsotnes, sauc par virsotnes pakāpi. Grafa virsotni, kurai ir nepāra pakāpe, sauc par nepāra, bet pāra pakāpes virsotni sauc par pāra. Nepāra pakāpe Pāra pakāpes saturs Grafu īpašības Grafā visu tā virsotņu pakāpju summa ir pāra skaitlis, kas vienāds ar divkāršu grafa malu skaitu.. Jebkura grafa nepāra virsotņu skaits ir pāra. Grafu īpašības Ja grafā ar n virsotnēm (n>2) tieši divām virsotnēm ir vienāda pakāpe, tad šajā grafā vienmēr būs vai nu tieši viena 0 pakāpes virsotne, vai tieši viena n-1 pakāpes virsotne. pilnam grafam ir n virsotnes, tad malu skaits būs n(n-1)/2. Grafa rekvizīti Pilnīgs grafs Nepilnīgs grafs Grafa īpašības Virzītais grafs Nevirzītais grafs Izomorfie grafi Grafu vēsture Termins "grafs" pirmo reizi parādījās ungāru matemātiķa D. Kēniga grāmatā 1936. gadā, lai gan sākotnējās svarīgākās grafu teorēmas datētas ar L. Eilers. Vairāk Grafu vēsture Grafu teorijas kā matemātikas zinātnes pamatus 1736. gadā ielika Leonhards Eilers, apsverot Kēnigsbergas tiltu problēmu. Mūsdienās šis uzdevums ir kļuvis par klasiku. Saturs Kēnigsbergas tiltu problēma Bijusī Kēnigsberga (tagad Kaļiņingrada) atrodas pie Pregelas upes. Pilsētas ietvaros upe apskalo divas salas. No krasta uz salām tika mesti tilti. Vecie tilti nav saglabājušies, bet ir pilsētas karte, kur tie ir attēloti. Nākamā Problēma par Kēnigsbergas tiltiem Kēnigsbergas iedzīvotāju vidū bija izplatīta problēma: vai ir iespējams izbraukt pāri visiem tiltiem un atgriezties sākuma punktā, katru tiltu apmeklējot tikai vienu reizi? Nākamā Problēma par Kēnigsbergas tiltiem Nevar izbraukt cauri Kēnigsbergas tiltiem, ievērojot dotos apstākļus. Izejot cauri visiem tiltiem, ar nosacījumu, ka katru reizi jāapmeklē un jāatgriežas ceļojuma sākumpunktā, grafu teorijas valodā izskatās kā uzdevums attēlot grafiku ar “vienu vēzienu”. vairāk Kēnigsbergas tiltu problēma Bet, tā kā grafam šajā attēlā ir četras nepāra virsotnes, šādu grafiku nav iespējams uzzīmēt "vienā gājienā". Eilera grafiks Grafiku, ko var uzzīmēt, nepaceļot zīmuli no papīra, sauc par Eilera grafiku. Atrisinot Kēnigsbergas tiltu problēmu, Eilers formulēja grafa īpašības: Nepāra virsotņu (virsotņu, uz kurām ved nepāra skaits malu) skaitam jābūt pāra. Nevar būt grafs, kuram būtu nepāra skaits nepāra virsotņu. Ja visas grafa virsotnes ir pāra, tad grafiku var uzzīmēt, nepaceļot zīmuli no papīra, un var sākt no jebkuras grafa virsotnes un beidz to vienā un tajā pašā virsotnē.. Grafu ar vairāk nekā divām nepāra virsotnēm nevar uzzīmēt vienā gājienā. tālāk Eilera grafs Ja visas grafa virsotnes ir pāra, tad, nepaceļot zīmuli no papīra (“vienā gājienā”), zīmējot pa katru malu tikai vienu reizi, uzzīmē šo grafiku. Kustība var sākties no jebkuras virsotnes un beigties tajā pašā virsotnē. tālāk Eilera grafs Grafiku, kuram ir tikai divas nepāra virsotnes, var uzzīmēt, nepaceļot zīmuli no papīra, un kustībai jāsākas no vienas no šīm nepāra virsotnēm un jābeidzas otrajā no tām. aiz Eilera grafika Grafu, kuram ir vairāk nekā divas nepāra virsotnes, nevar uzzīmēt ar vienu gājienu. ? Grafu pielietojums Ar grafiku palīdzību tiek vienkāršota matemātisko uzdevumu, mīklu, atjautības uzdevumu risināšana. nākamais Grafu pielietojums Uzdevums:Arkādijs, Boriss. Vladimirs, Grigorijs un Dmitrijs tikšanās reizē paspieda roku (katrs paspieda roku vienu reizi). Cik rokasspiedienu tika izdarīti kopā? tālāk Grafiku pielietojums Risinājums: A D C B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tālāk Kolonnu pielietojums Štatā aviokompāniju sistēma ir sakārtota tā, ka jebkuru pilsētu aviokompānijas savieno ne vairāk kā ar trim citām, un no plkst. no jebkuras pilsētas uz jebkuru citu Jūs varat ceļot ar ne vairāk kā vienu pārsēšanos. Cik šajā štatā var būt maksimālais pilsētu skaits? Grafiku pielietojums Lai ir kāda pilsēta A. No tās var nokļūt ne vairāk kā trīs pilsētās un no katras ne vairāk kā vēl divās (neskaitot A). Tad kopā ir ne vairāk kā 1+3+6=10 pilsētas. Tas nozīmē, ka pilsētā ir ne vairāk kā 10. Attēlā redzamais piemērs parāda aviokompāniju esamību. Grafiku pielietojums Ir 3x3 šaha galdiņš, augšējos divos stūros divi melnie bruņinieki, apakšējos divi baltie (attēls zemāk). 16 gājienos melno vietā novietojiet baltos bruņiniekus, bet balto vietā - melnos un pierādiet, ka mazākos gājienos to izdarīt nav iespējams. Grafiku pielietojums Paplašinot bruņinieku iespējamo gājienu grafiku pa apli, iegūstam, ka sākumā zirgi stāvēja kā attēlā zemāk: Secinājums Grafiki ir brīnišķīgi matemātiski objekti, ar kuriem var atrisināt matemātiskas, ekonomiskas un loģiskas problēmas. Varat arī risināt dažādas mīklas un vienkāršot uzdevumu nosacījumus fizikā, ķīmijā, elektronikā, automatizācijā. Grafikus izmanto karšu un dzimtas koku sastādīšanā. Matemātikā pat ir īpaša sadaļa, ko sauc: "Grafu teorija". saturu
Pievienotie faili
2. slaids
Grafs ir ierobežots virsotņu kopums, no kurām dažas ir savienotas ar malām, t.i. tas ir punktu kopums, ko sauc par virsotnēm, un līniju, kas savieno dažas virsotnes, ko sauc par malām vai lokiem, atkarībā no grafa veida.
3. slaids
Grafiku veidi (piemēri):
Parasta (nevirzīta) grafa 2 virsotnes var savienot tikai ar vienu malu. Savienojošās līnijas sauc par malām. (blakus esošās virsotnes ir 2 virsotnes, kas savienotas ar malu)
4. slaids
Virzīts grafs (digrāfs) ir grafiks, kurā virziens ir norādīts uz līnijām, kas savieno virsotnes (savienojošās līnijas sauc par lokiem)
5. slaids
Ielādēts grafs ir grafs, kuram blakus katrai malai ir cipars, kas raksturo saikni starp attiecīgajām virsotnēm (grafiks ar marķētām malām).
6. slaids
Tīkls ir digrāfs ar skaitli blakus katrai malai, kas raksturo saikni starp attiecīgajām virsotnēm (digrāfs ar iezīmētām malām).
7. slaids
Ar ielādētu grafiku vai tīklu modelētas problēmas risinājums, kā likums, ir vienā vai otrā nozīmē optimāla maršruta atrašana, kas ved no vienas virsotnes uz otru.
8. slaids
Semantiskais grafs ir grafs vai divdabis, kurā katras malas tuvumā nav piestiprināts skaitlis, bet cita informācija, kas raksturo attiecības starp attiecīgajām virsotnēm.
9. slaids
Multigrafējiet 2 virsotnes, kas savienotas ar 2 vai vairākām malām (vairākas malas)
10. slaids
Cilpa grafā (mala savieno virsotni ar sevi)
11. slaids
Grafa virsotnes pakāpes jēdziens ir malu skaits, kas iziet no vienas virsotnes
12. slaids
GRAFIKU ĪPAŠĪBAS:
1) Jebkuram grafam virsotņu pakāpju summa ir vienāda ar divkāršu malu skaitu. 2) Jebkuram grafam nepāra pakāpes virsotņu skaits vienmēr ir pāra (analogi uzdevumam: jebkurā brīdī to cilvēku skaits, kuri ir veikuši nepāra rokasspiedienu skaitu, ir pāra) 3) Jebkurā grafā ir vismaz 2 virsotnes ar vienādu pakāpi.
13. slaids
1) Maršruts grafā ir malu secība, kurā vienas malas beigas kalpo par nākamās malas sākumu (ciklisks maršruts - ja secības pēdējās malas beigas sakrīt ar 1. malas sākumu ) 2) Ķēde ir maršruts, kurā katra mala satur ne vairāk kā vienu reizi3) Cikls ir ceļš, kas ir ciklisks maršruts4) Vienkāršs ceļš ir ceļš, kas iet cauri katrai tā virsotnei tieši 1 reizi5) Vienkārša cilpa ir cikls, kas ir vienkāršs ceļš6) Saistītās virsotnes ir virsotnes (piemēram, A un B), kurām ir ķēde, kas sākas no A un beidzas ar B7) Savienots grafs ir grafs, kurā ir savienotas jebkuras 2 virsotnes. Ja grafs ir atvienots, tad tajā var izdalīt tā sauktos savienotos komponentus (t.i., virsotņu kopas, kas savienotas ar sākotnējā grafa malām, no kurām katra ir savienots grafs), vienu un to pašu grafu var attēlot Dažādi ceļi.
14. slaids
1. piemērs
V=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) ir grafika virsotņu kopa. Katram no šiem gadījumiem uzzīmējiet grafiku un nosakiet visas virsotņu pakāpes a) virsotnes x y ir savienotas ar malu tad un tikai tad, ja (x-y)/3 ir vesels skaitlis b) virsotnes x y ir savienotas ar malu tad un tikai tad, ja x+y=9 c ) virsotnes x y savieno ar malu tad un tikai tad, ja x+y ir ietverts kopā V=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) d ) virsotnes x y ar malu savieno tad un tikai tad, ja |x-y|
Aprīkojums:
- datorklase aprīkota ar modernām tehnoloģijām, video projektoru, ekrānu;
- datori ar Windows XP, Microsoft Office 2003 PowerPoint programmu;
- tāfeles aprīkojums (nodarbības tēma, jauni termini). Izdales materiāls.
Nodarbības plāns.
II. Jauna materiāla prezentācija. (10 min.)
III. Materiāla nostiprināšana. Praktiskais darbs. (15–20 min.)
IV. Nodarbības kopsavilkums. (2 min)
V. Mājas darbs.
I. Organizatoriskais moments. Zināšanu atjaunināšana.
Sveiki! Mūsu nodarbība saucas "Grafi". Iepazīsimies ar jēdzienu “Grafi”, mācīsimies tos attēlot un risināt problēmas par šo tēmu.
II Jauna materiāla prezentācija.
Pirmais darbs par grafu teoriju pieder Leonhardam Eileram (1736), lai gan terminu "grafs" 1936. gadā pirmo reizi ieviesa ungāru matemātiķis Denešs Koenigs. Grafikus sauca par shēmām, kas sastāv no punktiem un taisnu līniju vai līkņu segmentiem, kas savieno šos punktus (grafiku piemēri ir parādīti 1. attēlā)
Ar grafiku palīdzību bieži tika vienkāršots dažādās zināšanu jomās formulēto uzdevumu risināšana: automātikā, elektronikā, fizikā, ķīmijā u.c.. Ar grafiku palīdzību tiek attēlotas ceļu, gāzes vadu, siltuma un elektrotīklu diagrammas. . Grafiki palīdz atrisināt matemātikas un ekonomikas problēmas.
Grafs - (no grieķu grafo - es rakstu) ir līdzeklis, lai vizuāli attēlotu starp tiem esošo savienojumu objekta elementus. Tie ir brīnišķīgi matemātiski objekti, ar to palīdzību jūs varat atrisināt daudz dažādu, ārēji atšķirīgu problēmu.
Grafiks ir kāds informācijas modelis
Grafs sastāv no virsotnēm jeb mezgliem, kas savienoti ar lokiem vai segmentiem – malām. Līnija var būt vērsta, t.i., tai ir bultiņa (loka), ja nav vērsta - mala. Divas virsotnes, kas savienotas ar loku vai malu, sauc par blakus esošām.
Diagrammu piemēri (4., 5., 6. slaids)
1. uzdevums (7. slaids):
Ir nodibināta kosmosa komunikācija starp deviņām Saules sistēmas planētām. Regulāras raķetes lido šādos maršrutos:
Zeme - Merkurs; Plutons - Venera; Zeme - Plutons; Plutons - Merkurs; Merkurs - Venera; Urāns – Neptūns; Neptūns - Saturns; Saturns - Jupiters; Jupiters - Marss; Marss - Urāns.
Vai ir iespējams ar regulārām raķetēm lidot no Zemes uz Marsu?
Risinājums: Uzzīmēsim nosacījumu diagrammu: planētas attēlosim ar punktiem, bet raķešu maršrutus ar līnijām.
Tagad uzreiz ir skaidrs, ka nav iespējams lidot no Zemes uz Marsu.
Divas virsotnes, kas savienotas ar loku vai malu, sauc par blakus esošām. Katra mala vai loka ir saistīta ar skaitli. Skaitlis var norādīt attālumu starp apdzīvotām vietām, pārejas laiku no vienas virsotnes uz otru utt.
2. uzdevums (9. slaids) – risinājums ir pie tāfeles. Maša ieradās zoodārzā un vēlas redzēt pēc iespējas vairāk dzīvnieku. Kurš ceļš viņai jāiet? Dzeltens, sarkans, zaļš?
3. uzdevums (11 slaids) - risinājums ir pie tāfeles. Piecām futbola komandām A, B, C, D, E ir jāizspēlē savstarpējās spēles. Jau spēlējis A ar B, C, D; B c A, C, D. cik spēles līdz šim ir aizvadītas? Cik atlicis spēlēt?
Grafika attēlojums (12. slaids)
Grafiku var attēlot kā loku sarakstu (AB; 7), grafiski vai izmantojot tabulu.
| Loka saraksti | Grafiskā forma | tabulas forma | ||||||||||||||||
| (AB; 7), |  |
|
III. Materiālu konsolidācija: skolēni tiek aicināti sadalīties grupās un pildīt uzdevumus. Strādājot nelielā grupā, skolēni apspriež modeļus, balstoties uz nodarbības sākumā iegūtajām teorētiskajām zināšanām. Tādējādi tiek panākta materiāla atkārtošanās un konsolidācija.
2. uzdevums (13. slaids)
IV. Nodarbības kopsavilkums
Puiši, kādus jaunus vārdus jūs šodien iemācījāties? (Skaitīšana, grafika virsotne, grafika malas.)
Ko var attēlot grafa virsotnes? (Pilsētas; objekti, kas ir; saistīti.)
Ko nozīmē diagrammas malas (ceļi, kustības, virzieni)
Sniedziet piemēru, kur mēs varam viņus satikt?
Kā tiek parādīti grafiki?
V. Mājas darbs. (15. slaids)
1 slaids
2 slaids
Pirmo reizi grafu teorijas pamati parādījās Leonharda Eilera (1707-1783; Šveices, Vācijas un Krievijas matemātiķa) darbos, kuros viņš aprakstīja mīklu risināšanu un matemātikas izklaides uzdevumus. Grafu teorija sākās ar Eilera septiņu Kēnigsbergas tiltu problēmas risinājumu.
3 slaids
Jau ilgu laiku Kēnigsbergas iedzīvotāju vidū ir izplatīta šāda mīkla: kā iziet cauri visiem tiltiem (pāri Pregoljas upei), nešķērsojot nevienu no tiem divreiz? Šo problēmu daudzi mēģināja atrisināt gan teorētiski, gan praktiski pastaigu laikā. Bet neviens to nav spējis izdarīt, bet neviens nav spējis pierādīt, ka tas pat teorētiski nav iespējams. Vienkāršotā diagrammā pilsētas daļas (grafiks) atbilst tiltiem ar līnijām (grafikas lokiem), bet pilsētas daļas atbilst līniju savienojuma punktiem (grafa virsotnēm). Spriešanas gaitā Eilers nonāca pie šādiem secinājumiem: Nav iespējams pārbraukt pāri visiem tiltiem, neizbraucot ne vienam no tiem divas reizes.
4 slaids
Ir 4 asins veidi. Kad asinis tiek pārlietas no vienas personas uz otru, ne visas grupas ir savietojamas. Bet ir zināms, ka vienas un tās pašas grupas var pārliet no cilvēka uz cilvēku, t.i. 1-1, 2-2 utt. Un arī 1. grupa var tikt pārlieta uz visām pārējām grupām, 2. un 3. grupa tikai 4. grupai. Uzdevums.
5 slaids
6 slaids
Grafiki Grafiks ir informācijas modelis, kas attēlots grafiskā formā. Grafs ir virsotņu (mezglu) kopa, kas savienota ar malām. Grafs ar sešām virsotnēm un septiņām malām. Virsotnes sauc par blakus esošām, ja tās savieno mala.
7 slaids
Virzītie grafiki — digrāfi Katrai malai ir viens virziens. Šādas malas sauc par lokiem. Virzīts grafiks
8 slaids
Svērtais grafiks Šis ir grafiks, kura malām vai lokiem ir piešķirtas skaitliskās vērtības (tās var attēlot, piemēram, attālumu starp pilsētām vai transporta izmaksas). Grafa svars ir vienāds ar tā malu svaru summu. Tabula (to sauc par svara matricu) atbilst grafikam. 1 2 4 2 3 A B C D E
9 slaids
Uzdevuma ceļi ir izbūvēti starp apdzīvotām vietām A, B, C, D, E, F, kuru garums norādīts tabulā. (Cipara trūkums tabulā nozīmē, ka starp punktiem nav tieša ceļa). Nosakiet īsākā ceļa garumu starp punktiem A un F (pieņemot, ka varat pārvietoties tikai pa izbūvētajiem ceļiem). 1) 9 2) 10 3) 11 4) 12
10 slaids
1. 2. 3. 4. 5. Īsākā ceļa A-B-C-E-F garums ir 9 2 4 2 4 7 1 2 4 7 1 3 4 2 4 7 1 3 4 3 2 4 7 1 3 4 3 2
