Коробова Анастасия, студент гр. 14-PGS-48D
В наше време е важно да се изучават различни методи, свойства и нестандартни приложения. Ще разгледаме приложението на метода "Графика" в заобикалящата ни действителност.
Думата "графика" в математиката означава картина, на която са начертани няколко точки, някои от които са свързани с линии. На първо място, струва си да се каже, че графовете, които ще бъдат обсъдени, нямат нищо общо с аристократите от миналото. Нашите „графики“ произлизат от гръцката дума „grapho“, което означава „пиша“. Същият корен в думите "графика", "биография".
Първата работа по теория на графите принадлежи на Леонхард Ойлер и се появява през 1736 г. в публикациите на Академията на науките в Санкт Петербург.
Графи отговарят:
по физика - при конструиране на електрически вериги
в химията и биологията - при изучаването на молекулите на техните вериги
в историята - при съставяне на родословни дървета (родословие)
по география – по картографиране
в геометрията - чертежи на многоъгълници, полиедри, пространствени фигури
по икономика - при решаване на проблеми за избор на оптимален път за товарните транспортни потоци (авиолинии, метро, железопътни линии)
Теорията на графите се използва при решаване на задачи от математически олимпиади. Графиките дават видимост на условията на проблема, опростяват решението и разкриват сходството на проблемите.
Сега във всеки клон на науката и технологиите се срещате с графики.
Изтегли:
Преглед:
За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт в Google (акаунт) и влезте: https://accounts.google.com
Надписи на слайдове:
Презентация по математика Тема: "Графики" Попълнена от ученик от група 14-ПГС-48Д Коробова Анастасия
Графиката е фигура, състояща се от точки и линии, свързващи тези точки. Правите се наричат ръбове на графиката, а точките се наричат върхове. Върховете, от които излизат четен брой ръбове, се наричат четни, а нечетен брой се наричат нечетни. Примери за графики Теория на графите
Леонхард Ойлер (4 април 1707 г., Базел, Швейцария - 7 септември 1783 г., Санкт Петербург, Руска империя) е швейцарски, немски и руски математик, който има значителен принос за развитието на математиката, както и на механиката, физиката, астрономия и редица приложни науки. Ойлер е автор на повече от 800 статии по математически анализ, диференциална геометрия, теория на числата, приблизителни изчисления, небесна механика, математическа физика, оптика, балистика, корабостроене, музикална теория и др.
Фигура (графика), която може да бъде начертана, без да се вдига моливът от хартията, се нарича уникурсална. Модел 1. Граф, който има само два нечетни върха, може да бъде начертан, без да вдигате молива от хартията, докато движението трябва да започне от един от тези нечетни върха и да завърши на втория от тях. (Фиг. A) Модел 2 . Граф с повече от два нечетни върха не може да бъде начертан с „един щрих“ (фиг. B) Графи на Ойлер B A
Модел 3. Ако всички върхове на графиката са равномерни, тогава без да вдигате молива от хартията, като рисувате по всеки ръб само веднъж, начертайте тази графика. Движението може да започне от всеки връх и да завърши в същия връх.
Отдавна сред жителите на Кьонигсберг е разпространена такава гатанка: как да минеш през всичките мостове (през река Преголя), без да минеш нито един от тях два пъти? Мнозина се опитаха да решат този проблем, както теоретично, така и практически, по време на разходки Проблемът с мостовете на Кьонигсберг.
Това е графика, в която някои ръбове могат да бъдат насочени, а други могат да бъдат неориентирани. Смесено броене
Претеглена графика 1 2 4 2 3 A B C D E
Дърво е всяка свързана графа, която няма цикли. Дървета Дървета
Това е (мулти)граф, на чиито ръбове е присвоена посока. Насочените ръбове се наричат още дъги. Насочена графа
Графи отговарят:
Теорията на графите се използва при решаване на задачи от математически олимпиади. Графиките дават видимост на условията на проблема, опростяват решението и разкриват сходството на проблемите. Сега във всеки клон на науката и технологиите се срещате с графики.
Благодаря за вниманието!
За да видите презентация със снимки, дизайн и слайдове, изтеглете неговия файл и го отворете в PowerPointна вашия компютър.
Текстово съдържание на презентационни слайдове: Графи и тяхното приложение при решаване на проблеми Съдържание Какво е граф Свойства на граф История на появата на графите Проблемът с мостовете на Кьонигсберг Приложение на графите Заключения Какво е граф В математиката дефиницията на графика е дадена, както следва: Графът е непразно множество от точки и множество от сегменти, двата края на които принадлежат на дадено множество от точки.Точките се наричат върхове на графа, а свързващите ги линии са ръбове. Ръба на граф Върхове на граф Напред Какво е граф Броят на ребрата, излизащи от върха на графика, се нарича степен на върха. Връх на графика, който има нечетна степен, се нарича нечетен, а връх с четна степен се нарича четен. Нечетна степен Съдържание на четна степен Свойства на графите В един граф сборът от степените на всички негови върхове е четно число, равно на удвоения брой ръбове на графа Броят на нечетните върхове на всеки граф е четен. Свойства на графите Ако в граф с n върха (n>2) точно два върха имат еднаква степен, тогава в тази графа винаги ще има или точно един връх със степен 0, или точно един връх със степен n-1. Ако пълен граф има n върха, тогава броят на ръбовете ще бъде n(n-1)/2. Свойства на графика Пълна графа Непълна графа Свойства на графика Насочен граф Неориентиран граф Изоморфни графи История на графиките Терминът "граф" се появява за първи път в книгата на унгарския математик Д. Кьониг през 1936 г., въпреки че първоначалните най-важни теореми за графите датират от L. Ойлер. Повече История на графиките Основите на теорията на графите като математическа наука са положени през 1736 г. от Леонхард Ойлер, разглеждайки проблема за мостовете в Кьонигсберг. Днес тази задача се превърна в класика. Съдържание Проблемът с мостовете в Кьонигсберг Бившият Кьонигсберг (сега Калининград) се намира на река Прегел. В рамките на града реката мие два острова. Мостовете бяха хвърлени от брега към островите. Старите мостове не са запазени, но има карта на града, където са изобразени. Следващ проблем за мостовете на Кьонигсберг Сред жителите на Кьонигсберг е често срещан следният проблем: възможно ли е да преминете през всички мостове и да се върнете към началната точка, след като сте посетили всеки мост само веднъж? Следващ проблем за мостовете на Кьонигсберг Невъзможно е да се премине през мостовете на Кьонигсберг при спазване на дадените условия. Преминаването през всички мостове, при условие че трябва да посетите всеки от тях веднъж и да се върнете към началната точка на пътуването, на езика на теорията на графите изглежда като задача да изобразите графика с „един удар“. повече Проблем с мостовете в Кьонигсберг Но тъй като графиката на тази фигура има четири нечетни върха, невъзможно е да се начертае такава графика "с един щрих". Графика на Ойлер Графика, която може да се начертае, без да се вдига моливът от хартията, се нарича графика на Ойлер. Решавайки проблема с мостовете на Кьонигсберг, Ойлер формулира свойствата на графа: Броят на нечетните върхове (върховете, към които води нечетен брой ръбове) трябва да бъде четен. Не може да има графика, която да има нечетен брой нечетни върхове. Ако всички върхове на графиката са четни, тогава можете да начертаете графика, без да вдигате молива си от хартията, и можете да започнете от всеки връх на графиката и завършете го в същия връх Граф с повече от два нечетни върха не може да бъде начертан с един ход. по-нататък графика на Ойлер Ако всички върхове на графиката са равномерни, тогава без да вдигате молива от хартията („с един удар“), като рисувате по всеки ръб само веднъж, начертайте тази графика. Движението може да започне от всеки връх и да завърши в същия връх. още Графика на Ойлер График, който има само два нечетни върха, може да бъде начертан, без да се вдига моливът от хартията, и движението трябва да започне от един от тези нечетни върхове и да завърши във втория от тях. отвъд графиката на Ойлер. Граф, който има повече от два нечетни върха, не може да бъде начертан с един щрих. ? Приложение на графики С помощта на графики се опростява решаването на математически задачи, пъзели, задачи за изобретателност. следваща Приложение на графики Задача: Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий се ръкуваха на срещата (всеки се ръкува с всеки по веднъж). Колко ръкостискания бяха направени общо? по-нататъшно приложение на графики Решение: A D C B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 по-нататъшно приложение на колони В държавата системата на авиокомпаниите е подредена по такъв начин, че всеки град е свързан с авиолинии с не повече от три други и от от всеки град до всеки друг Можете да пътувате с не повече от едно прекачване. Какъв е максималният брой градове, които може да има този щат? Приложение на графики Нека има някакъв град A. От него можете да стигнете до не повече от три града, а от всеки от тях не повече от още два (без да броим A). Тогава има не повече от 1+3+6=10 града общо. Това означава, че общо градовете са не повече от 10. Примерът на фигурата показва наличието на авиокомпании. Приложение на графики Има шахматна дъска 3x3, в горните два ъгъла има два черни коня, в долните два бели (фигурата по-долу). В 16 хода поставете белите коне на мястото на черните, а черните на мястото на белите и докажете, че е невъзможно да направите това с по-малко ходове. Приложение на графики Разширявайки графиката на възможните ходове на конете в кръг, получаваме, че в началото конете стоят както на фигурата по-долу: Заключение Графиките са прекрасни математически обекти, с които можете да решавате математически, икономически и логически задачи. Можете също така да решавате различни пъзели и да опростявате условията на задачите по физика, химия, електроника, автоматизация. Графиките се използват при съставянето на карти и родословни дървета. Математиката дори има специален раздел, който се нарича: „Теория на графите“. съдържание
Прикачени файлове
слайд 2
Графът е крайна колекция от върхове, някои от които са свързани с ръбове, т.е. това е колекция от точки, наречени върхове, и линии, свързващи някои от върховете, наречени ръбове или дъги, в зависимост от вида на графиката.
слайд 3
Видове (примери) графики:
Обикновен (неориентиран) граф 2 върха могат да бъдат свързани само с едно ребро. Свързващите линии се наричат ръбове. (съседните върхове са 2 върха, свързани с ребро)
слайд 4
Насочен граф (диграф) е граф, в който посоката е посочена върху линиите, свързващи върховете (свързващите линии се наричат дъги)
слайд 5
Зареден граф е граф, който има число до всяко ребро, което характеризира връзката между съответните върхове (граф с обозначени ръбове).
слайд 6
Мрежата е диграф с число до всеки ръб, характеризиращ връзката между съответните върхове (диграф с обозначени ръбове).
Слайд 7
Решението на проблем, моделиран от зареден граф или мрежа, като правило се свежда до намиране на оптимален в един или друг смисъл маршрут, водещ от един връх към друг.
Слайд 8
Семантичният граф е граф или диграф, в който близо до всеки ръб не е поставено число, а друга информация, която характеризира връзката между съответните върхове.
Слайд 9
Мултиграф 2 върха, свързани с 2 или повече ребра (множество ребра)
Слайд 10
Цикъл в графика (ребро свързва връх със себе си)
слайд 11
Концепцията за степента на върха на графика е броят на ребрата, излизащи от един връх
слайд 12
СВОЙСТВА НА ГРАФИКИТЕ:
1) За всяка графа сумата от степените на върховете е равна на удвоения брой ръбове 2) За всяка графа броят на върховете с нечетна степен винаги е четен (аналогично на проблема: по всяко време броят на хората, които са направили нечетен брой ръкостискания е четен) 3) Във всяка графа има поне 2 върха с еднаква степен.
слайд 13
1) Маршрут на графика е последователност от ребра, в която краят на едно ребро служи като начало на следващо (цикличен маршрут - ако краят на последния ребер на последователността съвпада с началото на 1-во ребро ) 2) Верига е маршрут, в който всяко ребро съдържа най-много едно време 3) Цикъл е път, който е цикличен маршрут 4) Прост път е път, който минава през всеки от върховете си точно 1 път 5) Прост цикъл е цикъл, който е прост път6) Свързаните върхове са върхове (например A и B), които имат верига, започваща от A и завършваща с B7) Свързан граф е граф, в който всеки 2 върха са свързани. Ако графът е несвързан, тогава в него могат да бъдат разграничени така наречените свързани компоненти (т.е. набори от върхове, свързани с ръбове на оригиналния граф, всеки от които е свързан граф). Един и същ график може да бъде изобразен в различни начини.
Слайд 14
Пример 1
V=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) е наборът от върхове на графиката. За всеки от следните случаи начертайте графика и определете всички степени на върховете a) върховете x y са свързани с ребро тогава и само ако (x-y)/3 е цяло число b) върховете x y са свързани с ребро тогава и само ако x+y=9 c ) върховете x y са свързани с ребро тогава и само ако x+y се съдържа в множеството V=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) d ) върховете x y са свързани с ребро тогава и само тогава, когато |x-y|
Оборудване:
- компютърен клас, оборудван със съвременна техника, видео проектор, екран;
- компютри с Windows XP, програма Microsoft Office 2003 PowerPoint;
- оборудване за бяла дъска (тема на урока, нови термини). Раздавателен материал.
План на урока.
II. Представяне на нов материал. (10 мин.)
III. Фиксиране на материала. Практическа работа. (15-20 мин.)
IV. Обобщаване на урока (2 мин.)
V. Домашна работа.
I. Организационен момент. Актуализация на знанията.
Здравейте! Нашият урок се нарича "Графики". Ще се запознаем с понятието „Графики“, ще се научим да ги изобразяваме и ще решаваме задачи по тази тема.
II Представяне на нов материал.
Първата работа по теория на графите принадлежи на Леонхард Ойлер (1736 г.), въпреки че терминът "граф" е въведен за първи път през 1936 г. от унгарския математик Денеш Кьониг. Графиките се наричаха схеми, състоящи се от точки и сегменти от прави линии или криви, свързващи тези точки (примери за графики са показани на фигура 1)
С помощта на графики често се опростява решаването на проблеми, формулирани в различни области на знанието: в автоматизацията, електрониката, физиката, химията и др. С помощта на графики се изобразяват диаграми на пътища, газопроводи, топлинни и електрически мрежи . Графиките помагат при решаването на математически и икономически проблеми.
Графа - (от гръцки grapho - пиша) е средство за визуално представяне на елементите на обекта на връзките между тях. Това са прекрасни математически обекти, с тяхна помощ можете да решите много различни, външно различни проблеми.
Графиката е някакъв информационен модел
Графът се състои от върхове или възли, свързани с дъги или сегменти - ръбове. Линията може да бъде насочена, т.е. да има стрелка (дъга), ако не е насочена - ръб. Два върха, свързани с дъга или ръб, се наричат съседни.
Примери за графики (Слайд 4, 5, 6)
Задача 1 (Слайд 7):
Установена е космическа комуникация между деветте планети от Слънчевата система. Редовните ракети летят по следните маршрути:
Земя - Меркурий; Плутон – Венера; Земя – Плутон; Плутон - Меркурий; Меркурий – Венера; Уран - Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер - Марс; Марс – Уран.
Възможно ли е да се лети с обикновени ракети от Земята до Марс?
Решение: Да начертаем схема на условието: планетите ще изобразим с точки, а маршрутите на ракетите с линии.
Сега веднага става ясно, че е невъзможно да се лети от Земята до Марс.
Два върха, свързани с дъга или ръб, се наричат съседни. Всеки ръб или дъга е свързан с число. Числото може да показва разстоянието между населените места, времето на преминаване от един връх на друг и др.
Задача 2 (слайд 9) - решението е на дъската. Маша дойде в зоопарка и иска да види колкото се може повече животни. Кой път да поеме? Жълто, червено, зелено?
Задача 3 (11 слайд) - решението е на дъската. Пет футболни отбора A, B, C, D, E трябва да играят мачове помежду си. Вече играно A с B, C, D; B c A, C, D. колко мача са изиграни досега? Колко остава за игра?
Представяне на графика (Слайд 12)
Графиката може да бъде представена като списък от дъги (AB; 7), графично или с помощта на таблица.
| Дъгови списъци | Графична форма | таблична форма | ||||||||||||||||
| (AB; 7), |  |
|
III. Консолидиране на материалите: учениците са поканени да се разделят на групи и да изпълняват задачи. Работейки в малка група, учениците обсъждат модели въз основа на теоретичните знания, получени в началото на урока. Така се постига повторение и затвърдяване на материала.
Задача 2 (Слайд 13)
IV. Обобщение на урока
Момчета, какви нови думи научихте днес? (Брой, връх на графика, ръбове на графика.)
Какво могат да представляват върховете на една графа? (Градове; обекти, които са; свързани.)
Какво означават ръбовете на графиката (Пътища, движения, посоки)
Дайте пример къде в живота можем да ги срещнем?
Как се показват графиките?
V. Домашна работа. (Слайд 15)
1 слайд
2 слайд
За първи път основите на теорията на графите се появяват в трудовете на Леонхард Ойлер (1707-1783; швейцарски, немски и руски математик), в които той описва решаването на пъзели и математически развлекателни задачи. Теорията на графите започва с решението на Ойлер на проблема за седемте моста на Кьонигсберг.
3 слайд
Отдавна сред жителите на Кьонигсберг е разпространена такава гатанка: как да минеш през всичките мостове (през река Преголя), без да минеш нито един от тях два пъти? Мнозина се опитаха да решат този проблем както теоретично, така и практически по време на разходки. Но никой не е успял да направи това, но никой не е успял да докаже, че е дори теоретично невъзможно. На опростена диаграма части от града (графика) съответстват на мостове с линии (дъги на графиката), а части от града съответстват на точки на свързване на линии (върхове на графиката). В хода на разсъжденията си Ойлер стига до следните изводи: Невъзможно е да се премине през всички мостове, без да се премине през някой от тях два пъти.
4 слайд
Има 4 кръвни групи. Когато се прелива кръв от един човек на друг, не всички групи са съвместими. Но е известно, че същите групи могат да се преливат от човек на човек, т.е. 1 - 1, 2 - 2 и т.н. И също така група 1 може да се прелива на всички останали групи, групи 2 и 3 само на група 4. Задача.
5 слайд
6 слайд
Графики Графиката е информационен модел, представен в графична форма. Графът е набор от върхове (възли), свързани с ръбове. Граф с шест върха и седем ребра. Върховете се наричат съседни, ако са свързани с ребро.
7 слайд
Насочени графи - диграфи Всяко ребро има една посока. Такива ръбове се наричат дъги. Насочена графа
8 слайд
Претеглена графика Това е графика, на чиито ръбове или дъги са присвоени числови стойности (те могат да представляват например разстоянието между градовете или цената на транспорта). Теглото на граф е равно на сумата от теглата на неговите ребра. Таблицата (тя се нарича тегловна матрица) съответства на графиката. 1 2 4 2 3 А Б В Г Д
9 слайд
Задача Изградени са пътища между населените места A, B, C, D, E, F, чиято дължина е показана в таблицата. (Липсата на число в таблицата означава, че няма пряк път между точките). Определете дължината на най-краткия път между точки A и F (приемайки, че можете да се движите само по изградените пътища). 1) 9 2) 10 3) 11 4) 12
10 слайд
1. 2. 3. 4. 5. Дължината на най-късия път A-B-C-E-F е 9 2 4 2 4 7 1 2 4 7 1 3 4 2 4 7 1 3 4 3 2 4 7 1 3 4 3 2
